Triangles i rectes

Comencem amb un problema que sembla senzill.

Quants triangles que no es superposin es poden construir amb n rectes?

Està clar que amb 1 o 2 rectes no es pot construir cap triangle. I que amb 3 rectes se'n pot construir només 1. Amb 4 rectes se'n poden construir 2. Amb 5 rectes, 5. Però a partir d'aquí... a partir d'aquí la cosa es complica i és bastant embolicat de trobar el número de triangles que hi ha.

Pels casos amb poques rectes, els dibuixos són més o menys fàcils de trobar:



En el cas de 15 rectes, ens trobem amb aquesta bonica imatge:



que, per cert, sembla bastant difícil de fer "a mà". En el dibuix hi ha 65 triangles, per si algú ho vol comprovar.

Segons sembla, hi ha una cota superior pel màxim nombre de triangles per a cada número de rectes, que en alguns casos no s'ha demostrat que s'arribi a assolir. Aquest màxim és la part entera de n(n-2)/3.

El problema s'anomena problema dels triangles de Kobon, però no he aconseguit trobar el perquè. Segons sembla, el Kobon és un llenguatge que es parla a Papua Nova Guinea, però no hi trobo la relació.

Més informació aquí o aquí.

El problema de la setmana - un animal

Aquesta setmana es tracta de buscar el nom d'un animal. Pot ser qualsevol animal que surti al diccionari. Guanyarà la persona que digui el nom d'animal que, si es llegeix de dreta a esquerra, estigui més enrere alfabèticament.

Per exemple, si els animals proposats són VACA, GOS i CAVALL, el millor seria el gos, després el cavall i després la vaca.

Cinc punts per la millor solució, 3 per la segona i 1 per la tercera.

Tancaré el problema el 10 de febrer.

El problema de la setmana - posició curiosa

Aquesta setmana es tracta de crear una posició d'escacs, però maximitzant una quantitat.

La posició no té per què ser provinent d'una partida, ni tan sols té per què ser legal.

- Per cada peça negra amenaçada per la dama blanca, es sumarà un punt.
- Per cada peça negra amenaçada per una torre blanca, es sumaran dos punts.
- Per cada peça negra amenaçada per un àlfil o un cavall blanc, es sumaran tres punts.
- Per cada peça negra amenaçada pel rei blanc, es sumaran quatre punts.
- Per cada peça negra amenaçada per un peó blanc, es sumaran cinc punts.

Però...

- Per cada peça blanca amenaçada per la dama negra, es restarà un punt.
- Per cada peça blanca amenaçada per una torre negra, es restaran dos punts.
- Per cada peça blanca amenaçada per un àlfil o un cavall negre, es restaran tres punts.
- Per cada peça blanca amenaçada pel rei negre, es restaran quatre punts.
- Per cada peça blanca amenaçada per un peó negre, es restaran cinc punts.


No cal posar totes les peces al tauler, per descomptat.

Deixo de temps fins al dissabte 3 de febrer. Les respostes es poden donar com a comentaris.

Cinc punts per la millor solució, 4 per la segona, i així successivament. Tothom que participi tindrà 1 punt assegurat.

El problema de la setmana - 3 germans

Tres germans participen en un torneig d'escacs on hi ha 6 participants. Els altres 3 participants també són germans. A cadascuna de les famílies, el germà gran juga molt millor que el mitjà i el mitjà juga molt millor que el petit.

Abans de començar ja se sap que, si els tres primers germans són A1, A2 i A3 i els altres són B1, B2 i B3, els resultats seran:

A1 - B1 taules
A1 - B2 1-0
A1 - B3 1-0
A2 - B1 0-1
A2 - B2 taules
A2 - B3 1-0
A3 - B1 0-1
A3 - B2 0-1
A3 - B3 taules

Però, és clar, el torneig té premis econòmics importants i els germans són molt tramposos. Són tan tramposos, que si juguessin entre ells a la última ronda, es podria produir qualsevol resultat (fins i tot que el germà petit guanyés al gran) per obtenir el màxim de diners possibles. Per aquesta raó, es tanquen els germans en dues habitacions diferents, de forma que juguin les seves partides i donin els resultats entre els germans d'una mateixa família. Un cop donats els resultats, es jugaran les partides de tràmit entre germans de diferents famílies, que tothom sap com acabaran.

Reunits 3 germans d'una mateixa família es miren els premis del torneig:

1er: 1000 euros
2on: 950 euros
3er: 850 euros
4rt: 700 euros
5è: 500 euros
6è: 250 euros

A més, se sap que si dos persones empaten a punts, es reparteixen els diners a parts iguals (o sigui, si el segon i el tercer empaten a punts, tots dos rebrien 900 euros).

Els germans discuteixen quina és l'estratègia òptima per obtenir el major nombre de diners. I d'això es tracta el problema: qui vulgui participar, haurà d'enviar-me la solució per mail abans del dia 27 de gener. Aleshores jo faré tots els creuaments entre parelles de persones que m'ho hagin enviat, i la persona que hagi guanyat més creuaments obtindrà 5 punts, la segona 4, i així successivament, fins a arribar a 1 punt. Tothom que participi rebrà, com a mínim, 1 punt.

No sé si és molt embolicat. Si no m'he explicat bé, envieu-me un mail o deixeu un comentari i intentaré explicar-ho millor.

Punts cardinals amb el rellotge

De tots és sabut que durant la nit et pots orientar fàcilment mitjançant l'estrella polar, que assenyala el nord. Però, i de dia?

He trobat una cosa si més no curiosa, tot i que no massa exacta, per trobar els punts cardinals de dia. Per fer-ho, es necessita un rellotge analògic (de broques, dels de tota la vida) i que es vegi el Sol. I que s'estigui a Catalunya, o a algun altre lloc amb una latitud semblant, o com a mínim, a l'hemisferi nord (per latituds similars a l'hemisferi sud no seria massa diferent).

El que s'ha de fer és posar el rellotge pla, paral.lel al terra (es pot posar mirant cap amunt, no cal fer equilibris), i fer que la broca petita, la que assenyala les hores, apunti cap a la direcció on està el Sol. Aleshores el sud es troba en la direcció de la bisectriu de l'angle que formen la broca petita (la que assenyala les hores i que està apuntant al sol) i la recta que va del centre del rellotge al número 12 del rellotge.

No és massa exacte, no. Però com a mínim dóna una aproximació d'on és el sud. I a falta d'una brúixola...

Peces d'escacs

Fa dies que corre per internet. Però avui m'ha tornat a arribar i li he vist un error molt gros!



A veure si algú més el troba...

El problema de la setmana - construir una successió

Aquesta setmana torno a posar un problema d'aquells d'aconseguir un màxim. Es tracta de donar l'expressió d'una successió, de forma que:

- Els termes de la successió sempre siguin estrictament positius.
- Es pugui expressar de forma que amb una senzilla regla es puguin saber tots els termes de la successió.
- Si és una recurrència, els termes només poden dependre del terme anterior.
- Es maximitzi (a_1+a_4)/(a_3+a_2), on a_i és el terme i de la successió.

Per exemple, si s'agafa a_n=n, que compleix les condicions, el valor seria (1+4)/(3+2)=1.

Si s'agafés la successió a_n=a_(n-1)+n, a_1=1, el valor seria (1+10)/(6+3)=11/10.

Dóno de temps fins el 20 de gener.

La successió que tingui un valor més gran tindrà 5 punts, la segona 3, la tercera 2 i la quarta, 1.

Matemàtiques

Pero el núcleo de mi vida profesional son las matemáticas, que, si se entienden, son realmente uno de los temas más fascinantes que haya conocido la humanidad. Su historia se remonta a al menos hace cinco mil años, su impacto en la cultura moderna ha sido enorme, y prácticamente todo lo que experimentamos en nuestra vida diaria está basado en matemáticas que ocurren entre bastidores. Las matemáticas son una de las actividades humanas más vitales, pero también una de las menos apreciadas, y la menos comprendida.

Esto es una lástima. El mundo necesita desesperadamente de las matemáticas y de la contribución de los matemáticos. Nos enfrentamos a problemas enormes y muchos de ellos dependen de una predicción adecuada de lo que sucederá en el futuro. Las matemáticas son uno de los mejores métodos que conocemos para hacer predicciones, porque se basan en implicaciones lógicas. Dado lo que está sucediendo ahora, y aplicando reglas conocidas sobre la forma en que se desarrollan las cosas, ¿qué sucederá la próxima semana, el próximo año, el próximo siglo?

Ian Stewart
Cartas a una joven matemática
(Introducció)

El problema de la setmana - 2007

Com que hem entrat en un nou any, el 2007, aquesta setmana jugarem amb els números i el 2007. Es tracta d'agafar les lletres de 2007, o sigui DOS MIL SET, i aconseguir, amb aquestes lletres, el número més gran que sigui possible.

Les lletres es poden repetir tantes vegades com es vulgui, i, per tant, serien vàlides solucions com "set mil set". Però no seria vàlid, per exemple "set mil tres", perquè la R no és una lletra de 2007.

Com ja vaig dir, aquest any els problemes tindran una durada de dues setmanes. Aquest el tancaré el dia 13 de gener.

Donaré 3 punts a la millor solució, 2 a la segona i 1 a la tercera.

El problema de la setmana - problemes 2007

Problemes i puntuacions

Problema	data final	Puntuacions
l'últim de l'any	31 desembre	Xavier Jansana - 40 Enigmàlia - 35 Dan - 25 Laia - 25 ramtia - 20 Kpaixen - 15
cap a on miren els cavalls?	22 desembre	Laia - 20 Kpaixen - 19 El veí de dalt - 18 Dan - 17 Enigmàlia - 16
per entretenir-se durant el pont	15 desembre	pere - 20 Laia - 17 Dan - 14 xurri - 11 .clash - 8 Quim - 5 Kpaixen - 2 Enigmàlia - 1
l'alçada del campanar	9 desembre	Kpaixen - 20 Enigmàlia - 20 Dan - 20 Anna - 20 Xurri - 20
paraules amb elements químics (2)	24 novembre	Dan - 20 Laia - 17 pere - 14 Anna - 11 Kpaixen - 8
segueixo amb les successions	2 desembre	Kpaixen - 20
paraules amb elements químics (2)	24 novembre	Dan - 20 Laia - 17 pere - 14 Anna - 11 Kpaixen - 8
una successió	17 novembre	Enigmàlia - 20 Anna - 20 Kpaixen - 20
paraules amb elements químics	10 novembre	Xurri - 20 Enigmàlia -16 Laia - 16 Dan - 8 alasanid - 4 Anna - 2 ramtia - 2
de números (2)	3 novembre	ramtia - 11 pere - 10 Laia - 8 kpaixen - 7
Venus	27 ocubre	xurri - 11 Dan - 9 Anna - 9 Laia - 6 david - 2 pere - 1 kpaixen - 1 Enigmalia - 1
De números	20 ocubre	Enigmàlia - 20 Laia - 15 .clash - 5 Dan - 11 Kpaixen - 5 ramtia - 15
La paraula més llarga	13 ocubre	.clash - 18 CER - 18 Enigmàlia - 16 Dan - 16 Anna - 14 Laia - 14 pere - 12
Neptú	7 ocubre	Anna - 13 Enigmàlia - 3 CER - 3 Laia - 11 tantost - 5
successió	29 setembre	.clash 15 Txari 15
peces al tauler	22 setembre	Laia 15 Enigmàlia 12 CER 9
protagonistes poc famosos	15 setembre	CER 15 pere 15 Enigmàlia 15
un accident geogràfic	27 agost	CER 15 Dan 12 Laia 9 pere 6 Enigmàlia 3
lletres entre divisors	27 agost	CER 15 Anna 12 Laia 9
personatges de ficció	11 agost	CER 15 Laia 12 kpaixen 9
altre cop primers	4 agost	CER 15 Laia 12 Anna 9
llibres	28 juliol	Laia 15 Enigmàlia 12 xavier 9
07/07/07	21 juliol	.clash 15 pere 12 Anna 12 kpaixen 6 Enigmàlia 3
objectes casolans	14 juliol	pere 15 .clash 15 Anna 9 Enigmàlia 6
petards	7 juliol	.clash 10 kpaixen 8
successió de lletres	30 juny	Anna 10 pere 10 kpaixen 10
paraules amb la calculadora	23 juny	Dan 10 Tantost 8 Enigmàlia 6 pere 4 Anna 2
muntanyes	16 juny	Dan 10 pere 8
eleccions	9 juny	Enigmàlia 31 Kpaixen 9
alguna part del cos	2 juny	pere 10 Dan 10 Fulla de roure 6 Enigmàlia 6
de números primers	26 maig	Dan 15 Enigmàlia 13
successió	19 maig	subedei 10 grimborg 10
una professió	12 maig	Enigmàlia 10 pere 8 Kpaixen 6 Dan 4 tantost 2
1049=1000	5 maig	Enigmàlia 10 Kpaixen 8
ciutats amb vocals	28 abril	pere 10 tantost 10 Dan 10
un llibre	20 abril	pere 9 Dan 9 Enigmàlia 5 Anna 3
vacances	14 abril	pere 10 dan 10 Enigmàlia 6
Fibonacci i potències de 2	7 abril	Dan 5
més paraules	31 març	pere 11 veí de dalt 8 dan 7
les successions d'en Kpaixen	24 març	kpaixen 5 fulla de roure 5 mani 5
un animal i un vegetal	17 març	pere 5 enigmàlia 4 dan 3 kpaixen 2
successió	10 març	Kpaixen 5
Wir rayov sormy?	3 març	CosaNostra 5 Dan 5
100 boletes	24 febrer	ramtia 5 tantost 1 dan 1 enigmàlia 1
vegetal	17 febrer	ramtia 5 pere 3 dan 1
un animal	10 febrer	pere 5 ramtia 3 dan 1
posició curiosa	3 febrer	Enigmàlia 5 Tantost 4
3 germans	27 gener	Enigmàlia 5
construir una successió	20 gener	Enigmàlia 5
2007	13 gener	Enigmàlia 3 Fulla de Roure 2