dimecres, 24 de febrer del 2010

Paradoxa de De Méré

De Méré va ser un cavaller i filòsof del segle XVIII.

Es dedicava a les apostes per guanyar uns diners. Usava un dau sense trucar.

Al principi, apostava que podia aconseguir treure un u en quatre tirades del dau. I així va anar guanyant diners.

Però, al cap del temps, va canviar l'aposta: Apostava que, tirant dos daus 24 vegades, podia treure una parella d'uns.

Llavors va començar a perdre.

Per què?

(No s'hi val preguntar a sant google!)

dimecres, 10 de febrer del 2010

pi amb sumes i productes infinits

$\pi$ és un nombre que es defineix de forma senzilla com la proporció entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.

Però, durant la història de les matemàtiques, s'han trobat diverses fórmules que permetien calcular el nombre $\pi$ a través de sumes o productes infinits.

La primera vegada que algú va trobar una fórmula d'aquest estil va ser François Viète. Al 1593 va publicar el que era el primer producte infinit de la història de la matemàtica, amb el que es pot obtenir el nombre $\pi$:

$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$

Aquesta fórmula prové de càlculs trigonomètrics.

Només amb aquests termes, l'aproximació de $\pi$ que s'obté és de 3.12. Afegint un terme més, el resultat és 3.1365. La següent aproximació és 3.1403.

Mig segle després, al 1655, John Wallis va trobar una altra forma de calcular $\pi$ mitjançant un producte infinit:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$

conegut actualment com el producte de Wallis.

En aquest cas, els termes del producte són més senzills de calcular. Però pel nombre de termes de la fórmula s'obté una aproximació de $\pi$ de 2.9. Afegint 4 termes més, l'aproximació és de 3.002, i s'acosta molt lentament al valor de $\pi$.

Ja per acabar, una aproximació de $\pi$ per la suma d'una sèrie infinita. Aquesta és deguda a James Gregory, que al 1671 va publicar la fórmula:

$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$

coneguda com la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que prové de la sèrie de Taylor de l'arctangent, calculada per arctan(1).

Aquesta fórmula també convergeix molt lentament cap a $\pi$ i calen uns 300 termes per obtenir-lo amb 2 decimals correctes!

Font: e: the Story of a Number.

pi con sumas y productos infinitos

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al primer Carnaval de matemáticas.


$\pi$ es un número que se define simplemente como la proporción entre la longitud de una circumferencia y su diámetro.

Sin embargo, durante la historia de las matemáticas, se han encontrado diversas fórmulas que permiten calcular el número $\pi$ a través de sumas o productos infinitos.

La primera vez que alguien encontró una fórmula de este tipo fue François Viète. En 1593 publicó el que sería el primer producto infinito de la historia de la matemática, con el que se puede obtener el número $\pi$:

$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$

Esta fórmula proviene de cálculos trigonométricos.

Sólo con estos términos, la aproximación de $\pi$ que se obtiene es de 3.12. Añadiendo un término más, el resultado es de 3.1365. La aproximación siguiente es 3.1403.

Medio siglo más tarde, en 1655, John Wallis encontró otra forma de calcular $\pi$ usando un producto infinito:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$

conocido actualmente como el producto de Wallis.

En este caso, los términos del producto son más fáciles de calcular. Pero para el número de términos de la fórmula se obtiene una aproximación de $\pi$ de 2.9. Añadiendo 4 términos más, la aproximación es de 3.002, y se va acercando muy lentamente al valor de $\pi$.

Ya para finalizar, una aproximación de $\pi$ usando la suma de una serie infinita. Esta es debida a James Gregory, que en 1671 publicó la fórmula:

$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$

conocida como la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que proviene de la serie de Taylor del arco tangente, calculada para arctan(1).

Esta fórmula también converge muy lentamente a $\pi$ y se necesitan unos 300 términos para obtenerlo con 2 decimales correctos!

Fuente: e: the Story of a Number.

divendres, 5 de febrer del 2010