dimecres, 10 de febrer del 2010

pi amb sumes i productes infinits

$\pi$ és un nombre que es defineix de forma senzilla com la proporció entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.

Però, durant la història de les matemàtiques, s'han trobat diverses fórmules que permetien calcular el nombre $\pi$ a través de sumes o productes infinits.

La primera vegada que algú va trobar una fórmula d'aquest estil va ser François Viète. Al 1593 va publicar el que era el primer producte infinit de la història de la matemàtica, amb el que es pot obtenir el nombre $\pi$:

$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$

Aquesta fórmula prové de càlculs trigonomètrics.

Només amb aquests termes, l'aproximació de $\pi$ que s'obté és de 3.12. Afegint un terme més, el resultat és 3.1365. La següent aproximació és 3.1403.

Mig segle després, al 1655, John Wallis va trobar una altra forma de calcular $\pi$ mitjançant un producte infinit:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$

conegut actualment com el producte de Wallis.

En aquest cas, els termes del producte són més senzills de calcular. Però pel nombre de termes de la fórmula s'obté una aproximació de $\pi$ de 2.9. Afegint 4 termes més, l'aproximació és de 3.002, i s'acosta molt lentament al valor de $\pi$.

Ja per acabar, una aproximació de $\pi$ per la suma d'una sèrie infinita. Aquesta és deguda a James Gregory, que al 1671 va publicar la fórmula:

$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$

coneguda com la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que prové de la sèrie de Taylor de l'arctangent, calculada per arctan(1).

Aquesta fórmula també convergeix molt lentament cap a $\pi$ i calen uns 300 termes per obtenir-lo amb 2 decimals correctes!

Font: e: the Story of a Number.