diumenge, 26 de novembre de 2006

Quadrat màgic d'Euler




Aquest quadrat màgic és obra d'Euler.

És un quadrat màgic, i per tant hi ha els números de l'1 al 64 i cada fila i columna sumen exactament el mateix: 260.

Però a més:

- Cadascun dels quadrats taronges és també un quadrat màgic: totes les files i columnes sumen 130.

- Els números estan posats en ordre, segons el moviment del cavall dels escacs.

El problema de la setmana - més peons

La setmana passada, amb el problema de la setmana no vaig aconseguir el que volia. Podria haver-hi pensat una mica més... i se'm va passar que hi podria haver una solució millor. Aquesta setmana, el problema serà exactament el mateix de la setmana passada, posar els peons en el tauler d'escacs, però aquest cop la penalització és de 50 punts per cada peó que estigui repetit en una fila, columna o diagonal (100 si hi ha 3 peons, 150 si n'hi ha 3, etc.)

I el mateix de sempre: 3 punts per la millor solució, 2 per la segona, i 1 per la tercera.

dilluns, 20 de novembre de 2006

El problema de la setmana - posant peons en un tauler d'escacs

Tenim un tauler d'escacs (o sigui, de 8x8 caselles), on les files estan numerades de l'1 al 8 (com als taulers normals) i les columnes, en comptes de tenir les lletres de la A a la H, tenen també els números de l'1 al 8.

A cada casella del tauler d'escacs li correspon un número, que és el producte dels dos números de la casella: el número de la fila pel número de la columna.

El problema consisteix a posar peons (o qualsevol altre tipus de peça) al tauler. Se'n poden posar tants com es vulgui.

Cada peó que es posi en una casella suma tants punts com el nombre de la casella (o sigui, tants com el producte de la fila i la columna). Però, per cada fila o columna que hi hagi més d'un peó, es restaran 10 punts per peó de més que hi hagi. O sigui, si hi ha dos peons, es restaran 10 punts, 3 peons restaran 20, 4 peons restaran 30... I així per cada fila i cada columna.

Es tracta d'aconseguir la puntuació més alta.

Com sempre, 3 punts a la millor solució, 2 a la segona millor i un a la tercera. Si després de donar els punts algú troba una millora, també tindrà 3 punts.

Si no s'enten massa perquè és massa embolicat, posaré un exemple.

diumenge, 12 de novembre de 2006

El problema de la setmana - calendari de daus

Aquest seria més un problema d'Enigmàlia que no pas meu, però el posaré de totes formes.

Tinc un calendari, que consta de dos daus i tres prismes de base quadrada i alçada molt gran comparada amb la base. En els prismes, a cada cara llarga del prisma hi ha un mes. Els dies del mes es representen amb els daus: tinc dos daus en els que hi ha números del 0 al 8 (s'ha de tenir amb compte que el 9 simplement és el 6 capgirat), i girant els dos daus, puc aconseguir escriure qualsevol dia del mes.

Tenint en compte això, que cada dau ha de tenir 6 números, i que s'han de poder escriure els dies del mes, des del 01 fins al 31, usant els dos daus, de quantes maneres puc repartir els números entre els dos daus perquè això sigui possible?

A qui doni la resposta correcta li donaré 3 punts. Es pot deixar com a comentari o enviar-me-la per mail.

Temes:

dissabte, 11 de novembre de 2006

Curiositats sobre fraccions

Comencem calculant el resultat de dividir 100/89. Dóna 1.1235955... Fixem-nos en la part en negreta. Sí, són els nombres de Fibonacci: començant una successió per 1, 1, cada nombre és obtingut com la suma dels dos anteriors, així que la successió comença 1, 1, 2, 3, 5, 8... i, per tant, els quatre primers decimals de 100/89 coincideixen amb els nombres de la successió de Fibonacci.

Calculem ara 10000/9899. Ens dóna 1,0102030508132134559046368320032. Veiem que aquest cop, si dividim el nombre que ens dóna en trossets de dues xifres, la fracció ens dóna els deu primers nombres de la successió de Fibonacci.

No contents amb això, seguim calculant. Aquest cop 1000000/998999. El resultat és 1,001002003005008013021034055089144233377610. Efectivament, dóna els 15 primers nombres de Fibonacci, si agafem 3 dígits per representar-los.

La fracció que segueix, 100000000/99989999, dóna els 20 primers nombres de Fibonacci, prenent cada nombre representat amb 4 xifres.

Si anem construint funcions d'aquest estil, afegint dos zeros al numerador, i un 9 a davant i darrere del denominador, es van obtenint cada cop més i més nombres de Fibonacci. La demostració és bastant senzilla i es pot trobar aquí.

Temes: