dissabte, 13 de març de 2010

Per què algunes antenes són parabòliques?

Abans de començar, què és una paràbola?

Doncs una paràbola és una cònica (o sigui, que s'obtè tallant un con i un pla), que es pot definir com el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt F (que anomenarem focus) i una recta d que no contè el punt (que anomenarem directriu).

Però, per què poso aquesta definició i no alguna altra? Doncs perquè necessitaré el focus.

De qualsevol manera, si la distància entre el focus i la directriu és $\frac{1}{2a}$, mitjançant rotacions i translacions, podem col.locar la directriu a $y=-\frac{1}{4a}$ i el focus en el punt $(0,\frac{1}{4a})$. Aquest focus i aquesta directriu ens generen la paràbola $y=ax^2$.

Les paràboles tenen una propietat molt interessant, que és que qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu (en el nostre cas, vertical), quan es reflexi a la paràbola, passarà pel focus. I, de fet, a més de passar pel focus, el raig es tornarà a reflectir a la paràbola i tornarà a sortir perpendicular a la directriu (o sigui, vertical, o el que és el mateix, en la mateixa direcció en la que havia entrat, però en sentit contrari, és clar!)

Per provar aquesta propietat n'hi ha prou en veure que donada la paràbola $y=ax^2$ i un punt de la paràbola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mateix angle amb la tangent al punt que la recta que va del punt al focus. O sigui, mirant el gràfic, s'ha de veure que els angles $\alpha$ i $\beta$ són els mateixos.

(Per simetria, es pot suposar que $b$ és positiu, i també es pot suposar que $b$ és diferent de zero, perquè en el cas que sigui 0, és obvi que passa pel focus).



Però l'angle $\beta$ és el mateix que es forma entre els segments FQ i QP, on Q és el punt on la tangent talla l'eix d'ordenades. Per tant, només cal veure que el triangle FQP és isòsceles.

Com que el pendent de la recta tangent al punt $(b,ab^2)$ és $2ab$, la recta tangent és

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sigui

$$y=2abx-ab^2. $$

Per tant, el punt Q és $(0,-ab^2)$.

El segment FQ té una llargada de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segment FP té una llargada de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, el triangle és isòsceles, els angles són iguals, i tots els raigs que arriben verticals es reflexen i passen pel focus.

De fet, amb això, també podem veure que qualsevol raig que estigui a distància $c$ de l'eix, ha de recórrer la mateixa distància per reflexar-se i arribar al focus.

Aquesta distància és:

La distància fins a arribar a reflexar-se en un punt: $c-ab^2$.

La distància des de la paràbola a l'eix: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, la distància sempre és $c+\frac{1}{4a}$.

Si, però les paràboles són corbes, no superfícies, i viuen al pla, no a l'espai. Per això, per construir antenes, s'utilitzen paraboloides de revolució, que són les superfícies que s'obtenen fent girar una paràbola d'aquest estil al voltant de l'eix d'ordenades.

Aquests paraboloides tenen la mateixa propietat que les paràboles: qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu, es reflectirà en el paraboloide i passarà pel focus. Per tant, només cal agafar i posar el receptor al focus, on sap que passaran totes les ones. A més, el temps entre que s'emetin i que arribin al focus només dependrà de la distància a l'antena, no al punt on s'han reflectit.

I ja per acabar, aquesta propietat dels paraboloides és la mateixa que fan servir els flaixos de les càmeres, però a l'inversa: emetent una llum des del focus, aquesta es reflectirà en rajos sempre perpendiculars a la direcció que volem, i per qualsevol pla a on "enfoquem" el flaix, la llum hi arribarà sempre al mateix temps.

Por qué algunas antenas son parabólicas?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al segon Carnaval de matemáticas.



Antes de empezar, qué es una parábola?

Pues una parábola es una cónica (o sea, se obtiene de la intersección de un cono y un plano) que se puede definir como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto F (que llamaremos foco) y de una recta d que no contiene el punto (que llamaremos directriz).

Pero, por qué esta definición y no otra? Pues porque necesitaré el foco.

De qualquier modo, si la distancia entre el foco y la directriz es $\frac{1}{2a}$, mediante rotaciones y translaciones, se puede colocar la directriz en $y=-\frac{1}{4a}$ y el foco en el punto $(0,\frac{1}{4a})$. Este foco y esta directriz generan la parábola $y=ax^2$.

Las parábolas tienen una propiedad muy interesante, que es que qualquier rayo que entre perpendicular a la directriz (en nuestro caso, vertical), cuando se refleja en la parábola, pasará por el foco. De hecho, a parte de pasar por el foco, el rayo se volverá a reflejar en la parábola y volverá a salir perpendicular a la directriz (o sea, vertical, o lo que es lo mismo, en la misma dirección en la que había entrado, pero en sentido contrario).

Para probar esta propiedad, es suficiente ver que dada la parábola $y=ax^2$ y un punto de la parábola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mismo ángulo con la tangente en el punto que la recta que va del punto al foco. O sea, mirando el gráfico, se tiene que ver que los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son los mismos.

(Por simetria, se puede suponer que $b$ és positivo, y también se puede suponer que $b$ es distinto de cero, porque en el caso de que sea 0, es obvio que pasa por el foco).



Pero el ángulo $\beta$ es el mismo que se forma entre los segmentos FQ y QP, donde Q es el punto donde la tangente corta el eje de ordenadas. Por tanto, sólo hace falta ver que el triangulo FQP es isosceles.

Como que el pendiente de la recta tangente en el punto $(b,ab^2)$ es $2ab$, la recta tangente es

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sea

$$y=2abx-ab^2. $$

Por tanto, el punto Q es $(0,-ab^2)$.

El segmento FQ tiene una longitud de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segmento FP tiene una longitud de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, el triangulo es isosceles, los ángulos son iguales y todos los rayos que llegan verticales se reflejan y pasan por el foco.

De hecho, con esto, también se puede ver que qualquier rayo que esté a distancia $c$ del eje, tiene que recorrer la misma distancia para reflejarse y llegar al foco.

Esta distancia es:

La distancia hasta llegar a reflejarse en un punto: $c-ab^2$.

La distancia desde la parábola al eje: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, la distancia siempre es $c+\frac{1}{4a}$.

Si, pero las parábolas son curvas, no superficies, y vivien en el plano, no en el espacio. Por eso, para construir antenas, se utilizan paraboloides de revolución, que son las superficies que se obtienen haciendo girar una parábola de este estilo entorno al eje de ordenadas.

Estos paraboloides tienen la misma propiedad que las parábolas: cualquier rayo que entre perpendicular a la directriz se reflejará en el paraboloide y pasará por el foco. Por tanto, sólo hace falta poner el receptor en el foco, dónde se sabe que pasaran todas las ondas. Es más, el tiempo entre que se emitan y que lleguen al foco sólo dependerá de la distancia a la antena, no del punto dónde se hayan reflejado.

Y ya para finalizar, esta propiedad de los paraboloides es la misma que usan los flashes de las cámeras, pero a la inversa: emitiendo una luz desde el foco, esta se reflejará en rayos siempre perpendiculares a la dirección en que queramos, y para qualquier plano donde "enfoquemos" el flash, la luz llegará siempre al mismo tiempo.

dijous, 11 de març de 2010

2010 una odissea de neu

És dijous. La nevada va ser el dilluns. I encara estic... cansada? Enfadada? No sé com?

Aquesta és la meva història, que no és res d'excepcional, però... que em quedaré més tranquil.la si l'escric.

La meva no és res més que una altra de les moltes històries que es poden sentir per la radio. Sí, per la radio, perquè aquí fins fa poc no hem tingut res més que radio. I jo encara puc dir que he tingut sort...

Vaig tenir sort el dilluns al matí, perquè jo no tenia classe. I quan a les 8 del matí em van trucar per dir-me que no anés a treballar, perquè ja hi havia neu per aquí i per allà, els vaig fer cas. Els vaig fer cas perquè la previsió del temps va ser dolenta, i van dir que a Girona al migdia deixaria de nevar per sota dels 400 metres. I vaig pensar que molt bé, que si deixava de nevar al migdia ja podria baixar, fer les classes de la tarda, i tornar cap a casa. Vaig tenir sort perquè si hagués baixat, no hagués pogut tornar.

Vaig tenir sort perquè la meva mare, al migdia, es va trobar la carretera plena de neu. Vaig tenir sort perquè uns veïns la van pujar. Bé, perquè al davant va passar un tractor (gràcies a l'ajuntament?) que va treure la neu.

He tingut sort perquè avui som dijous i aquest matí, cap a les 12, ha tornat l'aigua. Des de dilluns sense aigua potable. Però com que hi havia un bon parell de pams de neu, recollíem neu en galledes i servia per tirar al lavabo i per rentar els plats. Ara ja no podré dir que no he rentat mai els plats amb neu...

He tingut sort perquè a casa hi havia piles i durant la tarda-nit de dilluns, quan hi havia gent que sabia que era a la carretera i no es podien comunicar, tenia la radio per "tranquil.litzar-me".

He tingut sort perquè vaig tenir la previsió de carregar el mòbil abans que se n'anés la llum. Quan van marxar la llum i el telèfon fix (i l'aigua, i tot), tenia un telèfon mòbil carregat de bateria fins a dalt. No servia per res, perquè no hi havia xarxa de mòbils, però almenys el tenia carregat.

He tingut sort de poder oferir una casa freda, sense cap més servei que una mica de menjar, una llar de foc i un llit a algú que es va passar mig dia donant volts al cotxe. I he tingut sort perquè a mi els mossos no em van dir que la nacional estava tallada, que agafés l'autopista, i al dir-los que havia sentit per la radio que l'autopista estava tallada em van dir que no i vaig fer un bon tros amb cotxe per no res, quan ja portava 7 o 8 hores a la carretera. Que quan m'ho explicava pensava: "I què collons fan els mossos?"

He tingut sort perquè gràcies a tenir el mòbil carregat, vaig poder aprofitar que els mòbils van funcionar momentàniament a quarts de dues de la matinada, per poder rebre una trucada d'algú que deia que acabava d'arribar a un lloc on estaria sota cobert.

He tingut sort perquè a casa hi ha llar de foc. I la cuina tenia una temperatura d'uns 10 graus amb el foc engegat. I quan hi entraves deies: "Aquí sí que s'hi està bé!!!" Amb mínimes de -10 a fora, i sense calefacció, he passat unes nits divertides. Però he tingut sort de tenir foc.

I, finalment, he tingut sort de que avui a quarts de 3 ha tornat la llum. He tingut sort de que "només" s'ha espatllat l'alarma (la pila, tants dies sense llum, ha dit que prou. Però, ei! Almenys aquest cop no s'ha posat a sonar a mitja nit!). I, a part de l'alarma, a casa només hi havia un congelador ple fins a dalt de menjar que haurà de passar a millor vida. Que total, com que el menjar és barat...

I sembla que finalment hem tornat a la normalitat... Sí? Bé, torna a fer cel de neu. Esperem que aquest cop NO hagi de tenir sort.

diumenge, 7 de març de 2010

Axg5?

Avui, al per equips, m'he trobat amb la següent posició (jo jugava amb blanques):



En jugades anteriors ja havia considerat 1. Axg5, però no em semblava que em quedés millor. Però aquí no he pogut resistir la temptació... i l'he jugat.

El negre no s'ha menjat l'àlfil i en menys de 5 jugades ja hagués hagut d'abandonar, perquè jo entrava per totes bandes.

La pregunta és: si es menja l'àlfil, què passa? Davant de la meva sorpresa, el Fritz NO dóna 1. Axg5. De fet, la dóna com a dolenta! I, al jugar-la jo, s'ho repensa una mica, però no massa.

El meu fritz està tonto? Sóc jo la que no m'hi veig? Se m'escapa alguna cosa?