dissabte, 13 de març de 2010

Per què algunes antenes són parabòliques?

Abans de començar, què és una paràbola?

Doncs una paràbola és una cònica (o sigui, que s'obtè tallant un con i un pla), que es pot definir com el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt F (que anomenarem focus) i una recta d que no contè el punt (que anomenarem directriu).

Però, per què poso aquesta definició i no alguna altra? Doncs perquè necessitaré el focus.

De qualsevol manera, si la distància entre el focus i la directriu és $\frac{1}{2a}$, mitjançant rotacions i translacions, podem col.locar la directriu a $y=-\frac{1}{4a}$ i el focus en el punt $(0,\frac{1}{4a})$. Aquest focus i aquesta directriu ens generen la paràbola $y=ax^2$.

Les paràboles tenen una propietat molt interessant, que és que qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu (en el nostre cas, vertical), quan es reflexi a la paràbola, passarà pel focus. I, de fet, a més de passar pel focus, el raig es tornarà a reflectir a la paràbola i tornarà a sortir perpendicular a la directriu (o sigui, vertical, o el que és el mateix, en la mateixa direcció en la que havia entrat, però en sentit contrari, és clar!)

Per provar aquesta propietat n'hi ha prou en veure que donada la paràbola $y=ax^2$ i un punt de la paràbola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mateix angle amb la tangent al punt que la recta que va del punt al focus. O sigui, mirant el gràfic, s'ha de veure que els angles $\alpha$ i $\beta$ són els mateixos.

(Per simetria, es pot suposar que $b$ és positiu, i també es pot suposar que $b$ és diferent de zero, perquè en el cas que sigui 0, és obvi que passa pel focus).



Però l'angle $\beta$ és el mateix que es forma entre els segments FQ i QP, on Q és el punt on la tangent talla l'eix d'ordenades. Per tant, només cal veure que el triangle FQP és isòsceles.

Com que el pendent de la recta tangent al punt $(b,ab^2)$ és $2ab$, la recta tangent és

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sigui

$$y=2abx-ab^2. $$

Per tant, el punt Q és $(0,-ab^2)$.

El segment FQ té una llargada de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segment FP té una llargada de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, el triangle és isòsceles, els angles són iguals, i tots els raigs que arriben verticals es reflexen i passen pel focus.

De fet, amb això, també podem veure que qualsevol raig que estigui a distància $c$ de l'eix, ha de recórrer la mateixa distància per reflexar-se i arribar al focus.

Aquesta distància és:

La distància fins a arribar a reflexar-se en un punt: $c-ab^2$.

La distància des de la paràbola a l'eix: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, la distància sempre és $c+\frac{1}{4a}$.

Si, però les paràboles són corbes, no superfícies, i viuen al pla, no a l'espai. Per això, per construir antenes, s'utilitzen paraboloides de revolució, que són les superfícies que s'obtenen fent girar una paràbola d'aquest estil al voltant de l'eix d'ordenades.

Aquests paraboloides tenen la mateixa propietat que les paràboles: qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu, es reflectirà en el paraboloide i passarà pel focus. Per tant, només cal agafar i posar el receptor al focus, on sap que passaran totes les ones. A més, el temps entre que s'emetin i que arribin al focus només dependrà de la distància a l'antena, no al punt on s'han reflectit.

I ja per acabar, aquesta propietat dels paraboloides és la mateixa que fan servir els flaixos de les càmeres, però a l'inversa: emetent una llum des del focus, aquesta es reflectirà en rajos sempre perpendiculars a la direcció que volem, i per qualsevol pla a on "enfoquem" el flaix, la llum hi arribarà sempre al mateix temps.

6 comentaris:

Joan ha dit...

Hola Matgala,

Enhorabona per l'escrit, molt clar i entenedor. Potser el títol seria millor: Per què algunes antenes són paràboliques? Perquè també n'hi han d'isotròpiques, yagui, etc ...

Salut!

matgala ha dit...

Tens raó. Gràcies. Ho acabo de modificar.

Alasanid ha dit...

Saps, ahir no se'm veien les fórmules. Em sembla que dec tenir algun problema amb el navegador.

De totes maneres m'ha agradat la demostració. És interessant veure les coses des d'aquest punt de vista.

Si no m'equivoco el fet que sigui una paràbola la qui fa aquestes coses és una de les conseqüències del principi de Fermat que fa temps vas fer sortir optimitzant el temps en la refracció de la llum.

matgala ha dit...

No és problema teu, Alasanid. No sé què havia fet malament i a mi tampoc se'm veien (al vespre, quan em van avisar).

Podria ser això de Fermat. Ara mateix... no t'ho sabria dir!

Gerard ha dit...

L'el·lipse té un principi focal similar (que segur que ja coneixes), i les males llengües diuen que s'utilitzava en alguns salons francesos per espiar els convidats.

matgala ha dit...

Jeje, sí això havia sentit jo també.