dilluns, 31 de maig de 2010

Les velocitats dels diferents estils

Parteixo d'un problema senzill de matemàtiques aplicades a la vida quotidiana. M'imagino, per un moment, que sóc una espècie de màquina i que sempre camino a la mateixa velocitat (independentment de la distància i del terreny) i que també corro sempre a la mateixa velocitat. Però no sé aquestes velocitats.

El primer dia surto de casa i camino 3 Km i en corro 7. En total, he estat fora de casa durant 78 minuts i 9 segons. Puc saber a quina velocitat corro i a quina velocitat camino? Doncs no. Puc dir, per exemple, que si camino a 4.5 Km/h, aleshores corro a 11 Km/h. Però, com sé a quina velocitat camino? Només tinc una equació i dues incògnites.

Si el dia següent surto i camino 2 Km i en corro 6 i el rellotge marca 60 minuts i 16 segons, aleshores sí que podré saber a quina velocitat corro i a quina camino. Només em caldrà resoldre el sistema:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{3}{x}+\frac{7}{y} = \frac{78.15}{60} \\
\frac{2}{x}+\frac{6}{y} = \frac{60.26}{60}
\end{array}
\right.
$$

El resultat em donarà les velocitats en Km/h: 5.1 Km/h quan camino i 9.8 Km/h quan corro.

Però, òbviament, no sóc una màquina, i després d'entrenar semblaria que les meves velocitats han d'augmentar. Per no parlar del fet que no és el mateix córrer 3 Km que córrer-ne 10, però obviaré aquest fet en una primera iteració i em centraré només en calcular les velocitats... però en comptes de fer-ho per caminar/córrer, ho faré pels estils de la natació.

Puc començar amb el mateix problema, però pensant que vaig a la piscina, nedo una estona, i sé quant de temps he estat a l'aigua i quants metres he fet de cada estil. Com puc trobar la velocitat mitjana de cada estil?

Una primera manera és anar a la piscina quatre dies i resoldre el sistema. Però... la velocitat en cada estil no és sempre la mateixa! A part de la dificultat de resoldre el sistema...

Tot ha començat amb la idea de tenir una espècie de càlcul senzill en el que pugui anar veient l'evolució de les velocitats dels diferents estils. Tenint en compte que tinc mala memòria i ja tinc prou feina a recordar quants metres he fet de cada estil i quants minuts hi he estat, i per tant és difícil que pugui recordar quant de temps he estat fent cada sèrie.

El simple fet de veure "evolució" m'ha fet pensar en un mètode iteratiu.

Així doncs, el primer dia què sé? A part de que feia molt que no nedava i que estic molt cansada i que abans anava molt més ràpid i bla, bla, bla? Doncs el primer dia només tinc les distàncies i el temps. Sembla lògic que la meva velocitat de crol serà més ràpida. Fa molts anys la de papallona se li acostava. Després anava l'esquena. Després la braça. Però, i ara? I en quin percentatge serà millor?

La "llavor inicial" haurà de ser, doncs, la millor aproximació que tinc: la mateixa velocitat mitjana per tots els estils.

I després?

Doncs després està clar que si faig moltes més piscines d'un determinat estil, aquest haurà de "predominar" a l'hora de canviar les velocitats. Però també he de tenir en compte les velocitats anteriors...

En el meu cas m'he decidit a aplicar una fórmula per calcular la nova velocitat per cada estil:

$$
v_{estil} = v_{estil} + (v_{mitjana_avui}-v_{anterior})p_{estil}.
$$

La velocitat mitjana d'avui està clara: la velocitat mitjana que he fet avui sense tenir en compte els estils que he fet servir.

La velocitat anterior (a falta d'un millor nom) és la velocitat mitjana a la que hagués anat si realment hagués anat amb les velocitats que tenia calculades del dia abans per cada estil. O sigui, que si vaig realment a aquella velocitat, la velocitat mitjana seria igual que l'anterior. I, com més diferència hi hagi entre les dues, és que estic fent un error més gran.

Per últim, la p és el tant per u de metres que he fet amb aquell estil. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ serà igual per tots els estils, però és lògic que l'estil que he utilitzat més durant el dia estigui més penalitzat a l'hora de canviar les velocitats. Això sense tenir en compte que si un dia faig totes les piscines amb el mateix estil (quin avorriment!), aleshores aquesta fórmula posarà exactament la meva velocitat en aquell estil i els altres els deixarà com estaven.

I ara la pregunta...

El mètode acabarà convergint? Comptant, és clar, que jo tingui un ritme regular que no varii massa d'un dia per l'altre.

Començant per alguna altra aproximació, el mètode també convergiria?

Sí, tot depèn de les unitats. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ pot ser molt gran depenent del que siguin aquestes velocitats... Bé, no treballaré amb velocitats (a sobre!) sinó que aquestes $v$ seran els temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres. O sigui, que les diferències poden ser grosses.

I ara la segona pregunta...

Què passa si en algun moment tinc una velocitat negativa?

Doncs jo em mullo (jajaja), i dic que el mètode acabarà convergint (tot i que no estic segura de quantes iteracions li caldran perquè s'acosti a alguna cosa "bona"). També dic que al principi hi haurà moltes oscil.lacions però dubto que hi hagi alguna velocitat negativa. Per haver-hi alguna velocitat negativa, en algun moment s'hauria de donar el cas que la diferència entre velocitats mitjanes fos més gran que alguna velocitat per algun estil. No descarto del tot tanta variabilitat, però em sembla que no hi arribaré. Tot i així, encara que al principi varii molt, jo crec que al final acabarà tendint al que li toca.

Quan hagi fet uns quants entrenaments i tingui algunes gràfiques, ja les ensenyaré. Tot i que, em torno a mullar, no crec que acabi convergint fins cap a les 100 iteracions. I això poden ser uns quants mesos...

AVIS: Fins i tot abans de publicar el missatge (i de fer cap piscina, que no em puc donar d'alta fins al juny!) ja tinc una "millora" del mètode que no sé si és millora. La "millora" es publicarà automàticament el divendres...

dilluns, 24 de maig de 2010

Un altre final

Per seguir amb el ritme de les últimes setmanes, un altre final.



Juguen les blanques. Tenen una torre de més, però el peó d'f2 negre pot valer una torre o alguna cosa més. Poden guanyar les blanques?

Si el blanc intenta la "lògica" 1. Td1 per aturar el peó, no passarà de les taules: 1. ... Ab5 2. c4 Axc4 i si intenta 3. Ad3 Axd3 4. Ta1+ Aa6 5. b5, el negre té el recurs 5. ... f1=D 6. Txf1 Axb5, i el final resultant són taules.

Si el blanc intenta buscar el mat amb 1. Td5, tampoc passarà de les taules: 1. ... f1=D 2. Ta5+ Da6 3. Txa6+ bxa6 i el final són taules.

Aleshores, el blanc pot guanyar? Com?

Si a la primera variant, després de 5. ... f1=D, el rei negre en comptes d'estar a a8 estigués a a7 i algú defensés la casella b6, el blanc podria fer mat. Per tant, la continuació sembla lògica: 1. Rc7+ Ra7. I ara que ja tenim totes les peces on volíem, podem seguir la nostra seqüència de jugades: 2. Td1 Ab5 3. c4 Axc4 4. Ad3 Axd3 5. Ta1+ Aa6 6. b5 f1=D.



El moment clau. Amb els reis a a8 i c8, la partida és taules. La torre blanca no pot fer res davant de l'àlfil i el peó de b negres.

De la mateixa forma, si el blanc jugués 7. Txf1, el negre té taules amb 7. ... Axb5.

Però el blanc pot guanyar amb 7. Txa6+ bxa6.



I aquesta és una d'aquelles situacions còmiques en les que una dama i dos peons no poden evitar que un sol peó blanc acabi guanyant: 8. b6+ Ra8 9. b7+ Ra7 10. b8=D mat.

dilluns, 17 de maig de 2010

Per què vull un cavall i un peó?

En la següent posició, les blanques tenen un cavall contra un peó. Però hi ha dames... És possible que guanyin?



La natural 1. Df7+, per acabar amb els dos peons negres només dóna taules. Per exemple, 1. ... Rg4 2. Dg6+ Rf3 3. Dxf5+ Rxe2 4. Dxe4+ Rf2 i el negre aconsegueix les taules. Si el blanc intentés 3. Dh5+ Rf2 4. Dh2+ Re3, i el negre acabarà aconseguint les taules.

Però el blanc pot jugar 1. Dc7. El negre pot intentar l'escac continu amb 1. ... Df6, però aleshores el blanc pot guanyar... regalant-ho tot, menys la dama, que la necessita per fer mat!

2. g4+ fxg4. Està clar que qualsevol altre moviment porta a mat: 2. ... Rxg4 3. Df4+ Rh5 Cg3 mat. O 2. ... Rh4 3. Dh2+ Rxg4 4. Df4+ i mat a la següent. O 2. ... Rg5 3. Df4+ Rh4 4. gxf5+ Rh5 5. Ch3 mat.



3. Cg3+ Rh4. Està clar que 3. ... Rg5 perd per 4. Ce4+.

4. Ce4 Dxf5+, intentant guanyar el cavall. Tampoc era vàlida 4. ... Db2 per 5. Rg6 i no es pot evitar el mat amb la dama h2 o h7. I si 4. ... Df3 5. Dh2+ Dh3 6. Df4 i guanya.

5. Rg7 Dxe4, és la única manera d'evitar el mat amb dama i cavall.



Però ara, les blanques, tot i tenir només dama poden fer mat forçat en 3 jugades:

6. Dh2+ Rg5 7. Dh6+ Rf5 8. Df6 mat.

dilluns, 10 de maig de 2010

Juguen blanques i...

Un problemet per començar la setmana.



En aquesta posició juguen blanques. És fàcil aconseguir les taules, però... poden guanyar?

Sembla que si desapareixen els peons del flanc de dama, el blanc arribarà a menjar el peó d'h7, però el negre aconseguirà ofegar-lo. O no?

El truc està a buscar el zugzwang.

1. Re5 Rc4 (o Rc5, o Rc6). 2. Rf6, col.locant-se a la mateixa distància dels dos peons negres, mirant a veure quin menjar.

Està clar que no es pot jugar 2. ... Rxc3, perquè el blanc corona abans: 3. Rg7 d5 4. Rxh7 d4 5. Rg6 (o Rg8, però mai Rg7, per no interferir amb l'escac amb la dama) d3 6. h7 d2+ 7. h8=D+, i el blanc acaba guanyant el final.

Així doncs, l'única solució del negre és anar a "perseguir" el rei blanc, intentant ofegar-lo.

2. ... Rd5.



Al blanc no li serveix 3. Rf7 per 3. ... Re5 i si 4. Re7 d5. Si en canvi 4. Rg7 Re6, arribant a l'ofegat.

Però el blanc pot jugar 3. Re7 Rc6. No era vàlid pel negre 3. ... d6 perquè perdia un temps i quedava en zugzwang: 4. Rf7 Re5 5. Rg7 Re6 6. Rxh7 Rf7 7. c4 i el negre està en zugzwang.

Però ara sí que el blanc pot jugar 4. Rf7 i el blanc està guanyat.

Si el negre juga 4. ... Rd6 5. c4



I el blanc guanya amb 5. ... Re5 6. Rg7 Re6 (com abans, si va a buscar el peó de c, perd). 7. Rxh7 Rf7 8. c5 zugzwang.

Si en canvi el negre juga 4. ... Rd5,



El blanc guanya amb 5. Rf6. I, a part dels casos que ja s'han tractat abans (Rd6, Rc4), al negre només li queda l'opció de 5. ... d6 6. Rg7 Re6 7. Rxh7 Rf7 8. c4, i altre cop el negre està en zugzwang.

dilluns, 3 de maig de 2010

Estudi d'en Herbstmann

La següent posició correspon a un estudi d'en Herbstmann. Les blanques tenen un peó a f7, a punt de coronar, i un altre a d6, també molt a prop de la coronació. L'estudi diu: juguen blanques i guanyen.



Així que la qüestió no és tan senzilla. Està clar que el blanc no pot coronar directament el peó d'f7, perquè el negre té un peó a a2 que també corona, i a més, ho fa amb escac.

Si el blanc es menja el peó d'a2, aleshores no pot escapar-se de les taules per escac continu: 1. Rxa2 f5 (tancant la sortida del rei) 2. f8=D Ta5+ 3. Rb3 Tb5+ 4. Rc4 Tc5+ 5. Rd4 Td5+



La torre negra té recolzament dels peons per fer escac a a5, b5, c5 i d5, i el rei blanc no pot arribar a la columna e, perquè entre el rei i el peó d'f5 no pot passar.

Tot i així, després d'f5, quan el negre tanca el pas al rei blanc, el blanc segueix tenint el peó a f7, així que pot intentar 1. Rxa2 f5 2. Ta7, per evitar el primer escac a a5. Al cap i a la fi, sembla que el negre no pot arribar a controlar f8.

En aquest cas, però, l'escac continu arriba per una altra banda: 2. ... Te5! 3. f8=D i el negre es dedicarà a fer escacs per la columna e. Les caselles e1, e2 i e3 estan controlades pel rei, mentre que e4 està controlada pel peó d'f5. El rei negre no té on amagar-se, ja que la cinquena fila està controlada pels peons de b6 i c6.



La cosa, doncs, sembla complicada. Hem d'evitar que el peó d'a2 entri, i a més, hem d'evitar l'escac continu. Tornem a la posició inicial:



La solució és 1. Rb2! En cas de que ens juguin 1. ... Tb5, podem jugar 2. Ra1 i s'han acabat els escacs continus, perquè el negre no té temps de posar la torre bé i jugar f5 en una sola jugada.

Per tant, el negre només pot jugar 1. ... a1=D+ 2. Rxa1.

Sembla el mateix que abans, però ara 2. ... f5 no funciona, perquè el blanc pot jugar 3. Ta7 i com que ara el rei blanc està a a1 en comptes d'a2, si el negre intenta 3. ... Te5 per fer escac continu, el blanc pot jugar 4. Ta2+ i el rei ha de deixar de defensar o bé e1 o bé e3, i el rei blanc s'escapa dels escacs, com per exemple en el cas de la següent posició, on el negre menja la torre d'a2, però el blanc no tindrà massa problemes a guanyar.



Així doncs, al negre només li queda l'opció de 2. ... Ta5+ 3. Rb2



I aquest cop 3. ... f5 no serveix per 3. Ta7! Txa7 4. f8=D Ta5 5. d7 i el blanc guanya. Quan el negre faci escac amb la torre a c5, el blanc només haurà de jugar Dxc5, coronant el peó de d7 a la següent jugada.

El negre pot intentar 3. ... Tb5+, però ara li falta el temps de l'f5 que ha jugat abans. La partida podria seguir 4. Rc3 Td5+ 5. Rd5. Si ara es seguís amb els escacs, el blanc s'escaparia per e4. Però, serveix 5. ... f5 per intentar altre cop l'escac continu?



Doncs la resposta és que no. El blanc pot jugar 6. Ta7, per evitar l'escac a a5. Tot i així, ens hem de recordar de la maniobra anterior per evitar l'escac per la columna e: 6. ... Td5+ 7. Rc3 Tc5+ 8. Rb2 Tb5+ 9. Ra1 Te5, i aprofitant que hem portat el rei fins a a1, aleshores 10. Ta2+, guanyant.