dilluns, 27 de juny de 2011

Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?

Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.

Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.

Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?



Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?

Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?

Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que

$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$

el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.

Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?

Doncs precisament la hipèrbola!

Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.

diumenge, 26 de juny de 2011

Juguen blanques i guanyen



En aquesta posició juguen les blanques. Tenen un peó de menys, i el negre amenaça mat amb 1. ... g3. Però el peó de d6 és fort i poden guanyar... si vigilen de no caure en l'escac continu!

Solució del problema anterior:



1. Cd6+ Rb8

L'opció 1. ... Rc7 està clar que perd per 2. Ce8+, guanyant la dama.

També perd 1. ... Rd8, per 2. h8=D+ Dxh8 3. Cf7+, guanyant la dama (quedant-se amb torre de més).

Per tant, la única opció és anar cap al racó. Però llavors...

2. Tb1+ Ra8 3. Ce8



El blanc amenaça la dama i mat amb Cc7.

3. ... Dg3+ 4. Ra4 Ad4, que atura el peó amb l'àlfil i el mat amb la dama.

Però... Les diagonals de l'àlfil i la dama convergeixen a e5, el que dóna lloc a un tema d'obstrucció:

5. e5. I si ara 5. ... Dxe5 6. h8=D, i la dama no es pot menjar pel mat amb el Cc7. Per tant, només queda 5. ... Axe5 6. Cc7+ Axc7 7. h8=D+ Ab8 8. Dh1+

dilluns, 6 de juny de 2011

Enigmàlia

Fa uns anys, un concurs anomenat Enigmàlia ens va fer pensar.

Ara ens porta una bona notícia: A partir d'aquesta setmana, tornen els Enigmes! N'hi haurà un cada dues o tres setmanes. I segur que són tan recomanables com els de fa 3-4 anys!

Que comenci el joc!