dimarts, 26 de gener de 2010

Com s'escriu aquest símbol en LaTeX?

Els que estem acostumats a escriure en LaTeX, arriba un moment en què els símbols que usem normalment ja els sabem de memòria. Altres fan servir WinEdt, i allà ja tenen tots els símbols a un clic. Però... què passa quan vols escriure un símbol que no escrius suficientment i no recordes com s'escriu?

Sant google? Sí, però a vegades costa!

Per aquests casos, existeix sant Detexify.

L'únic que has de fer és dibuixar el símbol amb el ratolí i ell et donarà un conjunt d'opcions de símbols i com s'escriuen en LaTeX. Genial! :-D

dimarts, 19 de gener de 2010

Problema de la Vanguardia - 19 de gener

Aquest matí he agafat la última Vanguardia del piló. Però ha valgut la pena, només per veure el genial problema que hi havia posat avui:



Les blanques tenen un parell de peons de menys i sembla que haurien de patir en un final, però... el problema diu: "Juguen blanques i guanyen".

Com poden guanyar les blanques? O fan mat, o guanyen la dama. Sinó, és impossible. Però... com aconseguir-ho?

Les dues primeres jugades sembla que se'n van de les mans:

1. Df1+ Rd2, única. L'altra opció, 1. ... Rxe3, facilita molt les coses al blanc, ja que després de 2. De1+, ja guanyen la dama, i els costarà més o menys acabar amb el cavall i els dos peons negres, però tenen la partida guanyada.

2. Dd1+ Rc3, altre cop única, a part de 2. ... Rxe3, que perd la dama com abans. I ara què? Sembla que el rei s'escapa cap a l'ala de dama, es ficarà entre els peons, s'hauran acabat els escacs, i arribarà a un final amb desavantatge... És així?



3. Dc2+ Rb4, altre cop gairebé única. 3. ... Rd4 permetia un doble amb 4. Cf5+, que guanyava la dama.

4. Db2+ Cb3, una vegada més, única. 4. ... Ra5 permetia un mat en dos després de 5. Cc4+ Ra6 6. Db6 mat.



I ara? S'han acabat els escacs?

Doncs no!

5. Da3+!, i el negre ja no té bones opcions. Si marxa amb el rei, perd la dama. I si 5. ... Rxa3, troba mat amb 6. Cc2.

Realment, genial!

dissabte, 16 de gener de 2010

El logaritme neperià (2)

(Ve d'aquí).

Així doncs, Napier es va dedicar a fer unes taules, semblants als logaritmes actuals, però no iguals, que feien les multiplicacions més fàcils.

El problema era: quina base agafar? Com que no podia posar exponents fraccionaris, agafar una base com per exemple 2 no hagués servit de massa, perquè s'hagués deixat molts nombres pel mig (com hagués calculat el logaritme de 3, per exemple?)

Per tant, havia d'escollir una base molt propera a 1, per no deixar-se nombres pel camí. Napier es va decidir per $1-10^{-7}$, o sigui, 0.9999999. Fent les potències s'obtenen molts nombres diferents, però... tots menors que 1. Així que els va multiplicar per $10^{7}$.

Així doncs, segons la definició actual, nosaltres diem que $c = log_a (b)$ si es compleix que $a^c=b$.

Segons la definició de Napier, el logaritme d'un nombre x era aquell nombre $N$ que complia que x era igual a $10^7(1-10^{-7})^N$. Amb aquesta definició, les multiplicacions es poden fer més fàcilment, com en el cas dels nostres logaritmes.

Però, com ja vaig dir, aquest logaritme és una funció decreixent i no hi apareix el nombre $e$... No hi apareix?

Podem recordar que una de les definicions del nombre $e$ (molt coneguda pels que ens vam fer un fart de fer límits a l'institut) és:

$$e = \lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n. $$

De la mateixa manera que existeix aquest límit, també podem considerar

$$1/e = e^{-1} = \lim_{n->\infty} (1-\frac{1}{n})^n. $$

D'altra banda, tots sabem que el logaritme d'1 en qualsevol base és 0. Usant la definició de logaritmes de Napier, és el logaritme de $10^7$ el que val 0. Aleshores... i si "normalitzéssim" d'alguna manera els logaritmes de Napier?

En comptes de dir que el logaritme d'$N$ és $L$ si es compleix que

$ N = 10^7(1-10^{-7})^L,$

podem normalitzar i prendre $N^*=N/10^7$ i $L^*=L/10^7$. Aleshores tenim

$ N^* = ((1-10^{-7})^{10^7})^{L^*},$

que s'assembla molt a la definició que nosaltres coneixem dels logaritmes, usant la base $(1-10^{-7})^{10^7}$. Però... $10^7$ és un nombre molt gran, i aquesta base la podem escriure com

$(1-\frac{1}{10^7})^{10^7},$

que sabem que tendeix a 1/e. De fet, aquest numeret val 0.367879422777... i 1/e val aproximadament 0.36787944117..., i per tant, tenim 7 decimals correctes.

Així doncs, Napier no podia conèixer el nombre e, i no va fer taules amb logaritmes base e, però sense voler-ho... va fer taules amb logaritmes gairebé 1/e!!! I d'aquí ens ha quedat el nom de logaritme neperià.

Font: e: the Story of a Number.

dimecres, 13 de gener de 2010

El logaritme neperià (1)

Per què el logaritme neperià es diu neperià? Doncs la resposta és clara, per Napier. Però... què va fer exactament Napier?

De la meva època de l'institut, jo tenia entès (perquè m'ho vaig fer jo, o perquè m'ho van dir) que Napier havia fet un munt de taules amb els logaritmes en base e. Però...

  • Napier és anterior a Euler (que va ser el que va introduir la e com a símbol pel nombre e).
  • Napier és anterior a Newton (i per tant a tot tipus de càlcul).
  • Napier va fer unes taules d'una cosa que... era una funció decreixent! (I els logaritmes són creixents!!!)
  • A l'època de Napier no existien els exponents fraccionaris: només es podien elevar nombres a enters.


Així doncs, què va fer Napier i quina relació hi ha amb el nombre e?

La idea de Napier era crear unes taules de nombres per multiplicar fàcilment. Jo a l'institut encara vaig tenir professors que explicaven com feien les multiplicacions llargues en temps en què encara no hi havia calculadora.

Per exemple, si es volia multiplicar 3429574*2892783, a mà t'hi podies estar anys. Però es podien agafar taules de logaritmes (per exemple una taula de logaritmes neperians) i usar la propietat:

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Així doncs, per multiplicar els dos numerets, l'únic que s'havia de fer era anar a les taules i mirar quan valien els logaritmes dels dos números:
ln(3429574) = 15.047947 (suposo que eren taules amb només 6 decimals).
ln(2892783) = 14.877730
Aleshores s'han de sumar els dos nombres: 29.925677.
I, finalment, tornar a les taules i buscar quin és el nombre que té per logaritme neperià el nombre que ens ha sortit (que, de fet és fàcil, perquè la funció és estrictament creixent): 9921021443309.

D'acord, aquest no és el resultat exacte. Mirant els dos nombres, sabem que el resultat exacte ha d'acabar amb 2. El resultat exacte de la multiplicació és 9921013364442. L'error és "petit" comparat amb la magnitud del nombre, i ens hem estalviat de fer una multiplicació eterna, que ens dóna una bona aproximació del resultat.

Com que veig que se m'està fent molt llarg, la continuació d'aquí a uns dies.

dilluns, 11 de gener de 2010

Omplint àrees

He trobat un problema on preguntava què "omplia" més, un quadrat inscrit en una circumferència o una circumferència inscrita en un quadrat? O sigui, donat un quadrat d'àrea 1 i una circumferència d'àrea 1, què té més àrea: una circumferència inscrita en el quadrat o un quadrat inscrit en la circumferència?

El problema és força senzill, i demanava trobar-ho sense fer ús de cap tipus de calculadora.

Però, després d'això, se m'ha ocorregut una pregunta: hi ha algun polígon regular d'n costats que compleixi que la circumferència inscrita en un polígon regular d'n costats d'àrea 1 tingui la mateixa àrea que un polígon regular d'n costats inscrit en una circumferència d'àrea 1? Si no és així, quin dels dos és més gran? Depèn d'n?

Continua essent senzill, però m'ha semblat maco.

(Si ningú s'anima, la solució en uns dies).

Estirada d'orelles - 6

Juguen negres.



Com aconsegueixen avantatge fàcilment?

(Aquesta ja és la última estirada d'orelles... almenys fins que comenci el per equips!)

diumenge, 10 de gener de 2010

Estirada d'orelles - 5

Abans de posar-me a mirar-la ja sabia que aquesta partida seria una col.lecció d'estirades d'orelles... i això que només vaig per la jugada 35 de 87...

Juguen negres.



El blanc acaba de jugar Cd6.

Quina és la millor jugada?

divendres, 8 de gener de 2010

Tendinitis aquil.lar

AVIS 1: No sóc metge, ni res que se li assembli.

AVIS 2: Aquest és un post completament diferent a tots els que hi ha aquí. Però em ve de gust fer-lo per si és d'ajuda a algú.

AVIS 3: Em reservo el dret d'anar-lo modificant, per afegir més informació, en cas que cregui que pugui servir d'ajuda a algú.

Per internet es pot trobar molta informació sobre la tendinitis que afecta al tendó d'Aquil.les, però... com es manifesta? Com es tracta? Quan triga a curar-se?

Crec que ni els metges ho saben.

La meva primera experiència en aquesta tendinitis va venir fa dos o tres anys. Estava acostumada a córrer, uns 45 minuts cada dia. I sí, jo no ho sabia, però portava unes bambes barates, que van ser la meva perdició. Un dia vaig tenir una mica de molèstia al taló, però no en vaig fer cas. Al cap d'uns dies va tornar, però no en feia cas. Deixava de córrer i el dolor no tornava, fins que tornava a córrer. Així que jo seguia corrent, fins que em feia mal, sense saber que en realitat hagués hagut de parar.

Fins que un dia vaig posar el peu al terra i vaig veure les estrelles. No podia posar-lo a terra sense que em fes molt mal, i ja no parlem de caminar!

A urgències em van embenar el peu. El primer traumatòleg que tenia hora me'l va tornar a embenar, i em va dir que al cap de dues setmanes em traiés la bena, i que ja estaria (si recordés el nom, no tornaria a anar-hi mai més!)

Al cap de dues setmanes, i després de que el peu no millorés (de fet, va empitjorar!) vaig demanar hora a un altre metge... que me'n va donar pel cap d'un mes.

Un mes i mig més tard, em van començar a donar antinflamatoris i a dir-me que fes repós. Que portés sabates amb una mica de taló o bambes amb càmera d'aire.

Em van fer una ecografia del peu (és molt divertit, sobretot si tens pessigolles!) i em van dir que la cosa sol anar per llarg.

En el meu cas, van ser més de 6 mesos.

La definició més bona que n'he llegit és "un dolor molt fort que no permet ni caminar".

La meva definció: Un dolor molt fort al taló, accentuat al matí quan t'aixeques, o quan has estat assegut una estona i comences a caminar (INDICACIÓ: si pots tenir la cama aixecada mentre seus, quan t'aixeques no fa tant de mal). El dolor et fa fer passos molt petits, i a poc a poc (en sis mesos de dolors, vaig aprendre a caminar a poc a poc i que intentar anar més ràpid que el que et permet el peu només genera dolor, al moment, i als moments següents). Baixar escales és una tortura (només es pot intentar agafant-se a la barana o sinó com els nens petits, posant els dos peus a cada esglaó i baixant sempre primer el peu bo), caminar planer es pot arribar a suportar (amb passets petits, i amb tranquil.litat), pujar i baixar rampes és un altre suplici, però en canvi pujar escales no fa cap mena de mal. De fet, cada cop que veig una escala que he de pujar, em poso contenta! És l'únic moment que puc anar a ritme normal sense dolor!

A què és degut? Doncs bàsicament a un sobrecarregament del tendó. Pot ser per esforç excessiu (per exemple, córrer massa i amb un mal calçat, de què em sonarà?). O també per altres causes físiques, com tenir un ós del peu massa gros o massa petit (prometo que, d'aquí a tres setmanes, quan torni al metge i em torni a explicar per què em passa i què tinc al peu, tornaré aquí i ho modificaré).

I com es cura? Amb tota la meva experiència visitant uns quants metges, l'únic que m'ha quedat clar és que es cura amb molt de temps, i amb repòs. De la resta, n'hi ha que donen antinflamatoris, n'hi ha que diuen que no; n'hi ha que immobilitzen el peu, n'hi ha que no, i així un llarg etcètera.

I, el que és més important, com es pot prevenir? En el meu cas, em van dir que portés sabates amb una mica de taló (que no fos massa dur) o bambes amb càmera d'aire. Em van dir que així no tornaria...

Però ha tornat. I ho ha fet de cop. El dia 5 em feia mal el taló, i ahir ja no podia col.locar el peu a terra sense veure les estrelles (bonic regal de reis).

Tot i així, les coses positives. Durant 6 mesos gairebé no podia caminar, i no podia conduir. Era el peu esquerre i era incapaç de prémer el pedal. Ara és l'altre peu i (de moment), com que no s'ha de prémer fort, encara puc conduir.

Així que tinc alguns temes pendents per posar aquí, per si són d'ajuda a algú:

  • Quines són les causes en el meu cas?
  • A part de repós, hi ha alguna altra manera de tractar-ho?
  • Hi ha algun tipus de gimnàs o de qualsevol altra cosa que serveixi per prevenir-ho?


Suposo que no cal ni dir que si algú em vol ajudar, l'ajuda serà benvinguda... El metge no tenia hora fins el dia 26, i no sé si fiar-me d'altres metges que em diran que en una setmana la tendinitis marxa...

Estirada d'orelles - 4

Juguen negres.



Es passen uns quants minuts decidint si es poden menjar el peó de c5.

Finalment decideixen, però se'ls ha escapat una cosa molt senzilla.

Es poden menjar el peó?

dijous, 7 de gener de 2010

Paraules de Galileo

Avui que fa 400 anys que Galileo va veure per primera vegada els satèl.lits de Júpiter, unes paraules seves:

Philosophy is written in this grand book - I mean the universe - which stands continually open to our gaze, but it cannot be understood unless one first learns to comprehend the language and interpret the characters in which it is written. It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures, without which it is humanly impossible to understand a single word of it.


Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623).

Cita trobada a e: the Story of a Number, d'Eli Maor.

Estirada d'orelles - 3

Aquesta seria l'estirada d'orelles en majúscules i fosforitos.



Juguen blanques i guanyen.

(Jo vaig fer taules...)

dimarts, 5 de gener de 2010

Estirada d'orelles - 2

Després de consultar el senyor fritz, sembla que a la segona i tercera partida no vaig fer cap error garrafal... Segurament m'estava preparant per la quarta i la cinquena...

De la quarta partida, una primera posició:



Aquí se me'n va anar molt la bola i vaig pensar que fent c6 guanyava un temps per fer la jugada que, finalment, deixava la dama tancada (la dama s'havia passat tota la partida d'a2 a b1 i a1, tancada, però en cap moment vaig tenir la possibilitat de guanyar-la). Per què és dolenta? Què podria haver fet?

dilluns, 4 de gener de 2010

Estirada d'orelles - 1

Si he de ser sincera, he de reconèixer que en aquest últim campionat de Catalunya m'ho he passat força bé jugant, amb les partides, com feia temps que no m'ho passava. Potser perquè no he jugat tan totxo com ho havia fet últimament, o vés a saber per què.

Però també reconec que necessito unes quantes estirades d'orelles. Unes quantes jugades que se'm van escapar i que no se m'havien d'haver escapat, sobretot als finals de partida...

Així que ara començo a mirar les partides i hi poso els errors més grossos, o els que crec que necessiten una estirada més forta d'orelles. N'aniré posant, des d'avui, els dies laborables, fins que s'acabin les estirades d'orelles.

La primera posició, de la primera ronda. Les dues hem coronat dama i em toca jugar (amb negres).



Jugo Db1. Per què és dolenta? Què podia haver fet que fos millor?