El logaritme neperià (2)

(Ve d'aquí).

Així doncs, Napier es va dedicar a fer unes taules, semblants als logaritmes actuals, però no iguals, que feien les multiplicacions més fàcils.

El problema era: quina base agafar? Com que no podia posar exponents fraccionaris, agafar una base com per exemple 2 no hagués servit de massa, perquè s'hagués deixat molts nombres pel mig (com hagués calculat el logaritme de 3, per exemple?)

Per tant, havia d'escollir una base molt propera a 1, per no deixar-se nombres pel camí. Napier es va decidir per $1-10^{-7}$, o sigui, 0.9999999. Fent les potències s'obtenen molts nombres diferents, però... tots menors que 1. Així que els va multiplicar per $10^{7}$.

Així doncs, segons la definició actual, nosaltres diem que $c = log_a (b)$ si es compleix que $a^c=b$.

Segons la definició de Napier, el logaritme d'un nombre x era aquell nombre $N$ que complia que x era igual a $10^7(1-10^{-7})^N$. Amb aquesta definició, les multiplicacions es poden fer més fàcilment, com en el cas dels nostres logaritmes.

Però, com ja vaig dir, aquest logaritme és una funció decreixent i no hi apareix el nombre $e$... No hi apareix?

Podem recordar que una de les definicions del nombre $e$ (molt coneguda pels que ens vam fer un fart de fer límits a l'institut) és:

$$e = \lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n. $$

De la mateixa manera que existeix aquest límit, també podem considerar

$$1/e = e^{-1} = \lim_{n->\infty} (1-\frac{1}{n})^n. $$

D'altra banda, tots sabem que el logaritme d'1 en qualsevol base és 0. Usant la definició de logaritmes de Napier, és el logaritme de $10^7$ el que val 0. Aleshores... i si "normalitzéssim" d'alguna manera els logaritmes de Napier?

En comptes de dir que el logaritme d'$N$ és $L$ si es compleix que

$ N = 10^7(1-10^{-7})^L,$

podem normalitzar i prendre $N^*=N/10^7$ i $L^*=L/10^7$. Aleshores tenim

$ N^* = ((1-10^{-7})^{10^7})^{L^*},$

que s'assembla molt a la definició que nosaltres coneixem dels logaritmes, usant la base $(1-10^{-7})^{10^7}$. Però... $10^7$ és un nombre molt gran, i aquesta base la podem escriure com

$(1-\frac{1}{10^7})^{10^7},$

que sabem que tendeix a 1/e. De fet, aquest numeret val 0.367879422777... i 1/e val aproximadament 0.36787944117..., i per tant, tenim 7 decimals correctes.

Així doncs, Napier no podia conèixer el nombre e, i no va fer taules amb logaritmes base e, però sense voler-ho... va fer taules amb logaritmes gairebé 1/e!!! I d'aquí ens ha quedat el nom de logaritme neperià.

Font: e: the Story of a Number.