dissabte, 16 de gener de 2010

El logaritme neperià (2)

(Ve d'aquí).

Així doncs, Napier es va dedicar a fer unes taules, semblants als logaritmes actuals, però no iguals, que feien les multiplicacions més fàcils.

El problema era: quina base agafar? Com que no podia posar exponents fraccionaris, agafar una base com per exemple 2 no hagués servit de massa, perquè s'hagués deixat molts nombres pel mig (com hagués calculat el logaritme de 3, per exemple?)

Per tant, havia d'escollir una base molt propera a 1, per no deixar-se nombres pel camí. Napier es va decidir per $1-10^{-7}$, o sigui, 0.9999999. Fent les potències s'obtenen molts nombres diferents, però... tots menors que 1. Així que els va multiplicar per $10^{7}$.

Així doncs, segons la definició actual, nosaltres diem que $c = log_a (b)$ si es compleix que $a^c=b$.

Segons la definició de Napier, el logaritme d'un nombre x era aquell nombre $N$ que complia que x era igual a $10^7(1-10^{-7})^N$. Amb aquesta definició, les multiplicacions es poden fer més fàcilment, com en el cas dels nostres logaritmes.

Però, com ja vaig dir, aquest logaritme és una funció decreixent i no hi apareix el nombre $e$... No hi apareix?

Podem recordar que una de les definicions del nombre $e$ (molt coneguda pels que ens vam fer un fart de fer límits a l'institut) és:

$$e = \lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n. $$

De la mateixa manera que existeix aquest límit, també podem considerar

$$1/e = e^{-1} = \lim_{n->\infty} (1-\frac{1}{n})^n. $$

D'altra banda, tots sabem que el logaritme d'1 en qualsevol base és 0. Usant la definició de logaritmes de Napier, és el logaritme de $10^7$ el que val 0. Aleshores... i si "normalitzéssim" d'alguna manera els logaritmes de Napier?

En comptes de dir que el logaritme d'$N$ és $L$ si es compleix que

$ N = 10^7(1-10^{-7})^L,$

podem normalitzar i prendre $N^*=N/10^7$ i $L^*=L/10^7$. Aleshores tenim

$ N^* = ((1-10^{-7})^{10^7})^{L^*},$

que s'assembla molt a la definició que nosaltres coneixem dels logaritmes, usant la base $(1-10^{-7})^{10^7}$. Però... $10^7$ és un nombre molt gran, i aquesta base la podem escriure com

$(1-\frac{1}{10^7})^{10^7},$

que sabem que tendeix a 1/e. De fet, aquest numeret val 0.367879422777... i 1/e val aproximadament 0.36787944117..., i per tant, tenim 7 decimals correctes.

Així doncs, Napier no podia conèixer el nombre e, i no va fer taules amb logaritmes base e, però sense voler-ho... va fer taules amb logaritmes gairebé 1/e!!! I d'aquí ens ha quedat el nom de logaritme neperià.

Font: e: the Story of a Number.

3 comentaris:

Gerard ha dit...

Doncs déu n'hi dó amb en Napier! Quin paio tan espavilat.
Jo tampoc sabia això que feia servir aquesta mena de logaritme invers...

Alasanid ha dit...

Si que n'era d'espavilat aquest home... Amb motiu existeixen els logaritmes neperians.

Fer aquesta entrada sense el LaTeX hauria estat un calvari pels lectors, la veritat és que va molt bé.

matgala ha dit...

I això que Napier no era matemàtic, això només era una "diversió"...

Sí, gràcies als comentaris de vosaltres dos he pogut fer aquesta entrada usant LaTeX :-D Sense això potser no hagués posat tantes fórmules o ho hagués escrit a mà i ho hagués escanejat. Així que, moltes gràcies a tots dos!!!