dimecres, 13 de gener de 2010

El logaritme neperià (1)

Per què el logaritme neperià es diu neperià? Doncs la resposta és clara, per Napier. Però... què va fer exactament Napier?

De la meva època de l'institut, jo tenia entès (perquè m'ho vaig fer jo, o perquè m'ho van dir) que Napier havia fet un munt de taules amb els logaritmes en base e. Però...

  • Napier és anterior a Euler (que va ser el que va introduir la e com a símbol pel nombre e).
  • Napier és anterior a Newton (i per tant a tot tipus de càlcul).
  • Napier va fer unes taules d'una cosa que... era una funció decreixent! (I els logaritmes són creixents!!!)
  • A l'època de Napier no existien els exponents fraccionaris: només es podien elevar nombres a enters.


Així doncs, què va fer Napier i quina relació hi ha amb el nombre e?

La idea de Napier era crear unes taules de nombres per multiplicar fàcilment. Jo a l'institut encara vaig tenir professors que explicaven com feien les multiplicacions llargues en temps en què encara no hi havia calculadora.

Per exemple, si es volia multiplicar 3429574*2892783, a mà t'hi podies estar anys. Però es podien agafar taules de logaritmes (per exemple una taula de logaritmes neperians) i usar la propietat:

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Així doncs, per multiplicar els dos numerets, l'únic que s'havia de fer era anar a les taules i mirar quan valien els logaritmes dels dos números:
ln(3429574) = 15.047947 (suposo que eren taules amb només 6 decimals).
ln(2892783) = 14.877730
Aleshores s'han de sumar els dos nombres: 29.925677.
I, finalment, tornar a les taules i buscar quin és el nombre que té per logaritme neperià el nombre que ens ha sortit (que, de fet és fàcil, perquè la funció és estrictament creixent): 9921021443309.

D'acord, aquest no és el resultat exacte. Mirant els dos nombres, sabem que el resultat exacte ha d'acabar amb 2. El resultat exacte de la multiplicació és 9921013364442. L'error és "petit" comparat amb la magnitud del nombre, i ens hem estalviat de fer una multiplicació eterna, que ens dóna una bona aproximació del resultat.

Com que veig que se m'està fent molt llarg, la continuació d'aquí a uns dies.

2 comentaris:

Alasanid ha dit...

Haurem d'esperar...

Però la veritat és que des que hi ha calculadores la les coses s'estan ficant difícils per les taules de logaritmes.

M'has deixat ben intrigat... Sabia a qui debien el nom però no que aquest personatge fos anterior a tots aquests fets, a veure quan arriba la segona part.

matgala ha dit...

Sí, a mi també em va deixar molt sorpresa, perquè jo pensava que Napier havia fet les taules ja amb el nombre e...

A veure si demà al matí tinc ànims per acabar-ho d'escriure...