dissabte, 29 d’agost de 2009

Perímetres rectangulars

Imaginem-nos que tenim un paral.lelepípede (o sigui, un tetrabrick). Podem calcular-ne el que en podríem dir perímetres rectangulars, o sigui, el perímetre format per cadascuna de les seves cares (o el tros de corda que ens caldria per lligar-lo si fos una caixa i volguéssim embolicar-lo).

Per exemple, si el paral.lelepípede té costats d'1, 2 i 3 cm, els tres diferents perímetres rectangulars serien:

  • 2*1+2*2=6
  • 2*1+2*3=8
  • 2*2+2*3=10


Si ara agafem un paral.lelepípede més gran, de costats 1, 3 i 3, els perímetres quadrats serien:

  • 2*1+2*3=8
  • 2*1+2*3=8
  • 2*3+2*3=12

que són més grans que els de l'anterior.

Ara anem a fer el mateix, però al revés. Tenim dos paral.lelepípedes diferents. Els seus corresponents perímetres rectangulars són:

  • P1: 12, 16 i 20.
  • P2: 12, 16 i 24.

Quin dels dos paral.lelepípedes tindrà un volum més gran, el P1 o el P2?

La intuïció diu que P1 ha de tenir un volum més petit que P2. Però si faig la pregunta... seran iguals? Serà més gran el volum de P1?

Anem-ho a veure.

P1 té costats x1, x2 i x3. Degut als perímetres rectangulars, ha de complir les equacions següents:
2*x1+2*x2 = 12
2*x1+2*x3 = 16
2*x2+2*x3 = 20

El sistema té solució única, x1=2, x2=4 i x3=6. Per tant, el seu volum és 48.

Fent el mateix per P2, obtenim que els seus costats han de ser 1, 5 i 7. I, per tant, el volum és 35.

Així doncs, tot i que sembli estrany, P1 té més volum que P2.

divendres, 28 d’agost de 2009

L'univers en forma de cançó

Com de gran és l'univers?

On estem nosaltres?

Quantes estrelles hi ha?

La resposta, en forma de cançó, aquí :-D

dimecres, 26 d’agost de 2009

Dinou

En honor a la Laia, que em va enviar la foto d'aquests escacs de papiroflèxia, fets per ella (quina feinada!)



i que li va agradar el post el número trenta-u...


  • 19 és el |1-9| número primer.
  • 19.19, és clar! :-D

  • 19 = 1*9 + 1+9
  • 19+18+17+...+3+2+1=190.
  • 19 és el nombre primer més petit que és suma de tres primers diferents: 3 + 5 + 11.
  • La suma dels dígits de 19 és 10. La suma dels dígits de 19^2=361, també és 10.
  • A més, 3*6+1 = 19.
  • 19 és un primer invertible: 61 també és primer.
  • 2^1 + 3^2 + 5^3 + 7^4 + 11^5 + 13^6 + 17^7 + 19^8 és un nombre primer.
  • 19^0 + 19^1 + ... + 19^18 és primer.
  • El nombre 1000000000000000009 (1- 17 zeros - 9) és un nombre primer (que té 19 xifres, i 17 (primer germà del 19) zeros
  • 19 = 4! - 3! + 2! - 1!
  • Aquesta dedicada especialment a la Laia (encara que sigui biòloga, no química!): 19 és el nombre més petit de neutrons pel que no hi ha un isòtop estable.
  • Aquesta és bona per mi :-) En un final d'escacs, on s'ha de fer mat amb dos àlfils (de diferent color, és clar), com a màxim, es necessiten 19 moviments per fer el mat, sigui quina sigui la posició inicial de les peces.

divendres, 21 d’agost de 2009

Trenta-u


  • És un nombre primer.
  • En base 2 s'escriu com 11111, i en base 5, 111.
  • 31 = 2^2 + 3^3.
  • És un primer de Mersenne (2^5-1) i genera un primer de Mersenne: 2^31-1 = 2147483647, que també és primer (i, a més, va ser el primer més gran conegut fins al 1867). Només hi ha 4 parelles conegudes de nombres de Mersenne amb aquesta propietat.
  • L'arrel cúbica de 31 és una bona aproximació de pi (3.14138).
  • La suma dels dígits del 31è nombre de Fibonacci (1346269) és 31.
  • L'objecte de Messier M31 és la galàxia d'Andròmeda.
  • Un dels pocs nombres primers que, girant els seus dígits, s'obtè un altre nombre primer.
  • És el nombre més petit que es pot expressar de dues maneres diferents com a suma de quatre quadrats: 1^1+1^1+2^2+5^2 i 2^2+3^2+3^2+3^2
  • És el novè nombre de la sort.
  • La suma dels dígits de 31^7 (27512614111) val 31.
  • 3^31-2^31 és primer.
  • Hi ha exactament 31 nombres que no es poden escriure com a suma de dos nombres quadrats diferents (2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128). Sí, el 31 és un d'ells!
  • (31^31 - 1)/(31 - 1) és primer.
  • A l'expressió decimal de pi, els 31 primers decimals són diferents de 0 (el 32è ja és 0).

dimecres, 19 d’agost de 2009

Juguen blanques i fan taules

En la posició del diagrama, juguen blanques i fan taules.



No? No trobeu la solució? :-D

Seguim unes jugades més...

Si 1.Cf5+ Rd8 2.Cxd4 a2 3.Cc2 Tb2, les negres guanyen. Però si 1.Cf5+ Rd8 2.Ta8+ Rxd7 3.a7 Ta4 4.Tg8 Tba6, s'arriba a la següent posició, on juguen blanques i fan taules:



Tampoc?

Si encara no veieu la solució, no us preocupeu. Això mateix els va passar a alguns grans mestres i a algun programa informàtic (la història completa aquí).

La solució és 5. Ch6 i el blanc no pot evitar l'escac continu de la torre per la columna g.

Bonus: El Fritz 8 que tinc aquí dóna taules ja des de la primera jugada... menjant-se la torre (ejem...) Fent-lo jugar, perd. Posant-li la segona posició, és incapaç de trobar Ch6... No és fins una mica més tard que s'adona que són taules... Fent jo Ch6, és clar!

dimecres, 12 d’agost de 2009

Entrenament, progressions o paràboles?

Una persona que fa molt que no corre decideix començar des de 0, amb l'objectiu de, al cap de 20 dies, córrer una carrera de 10 Km. La seva idea és fer els 10 Km, començant a peu, i cada dia anar augmentant la distància correguda, fins arribar a córrer tota la distància. Es tracta d'anar millorant, i crear-se un pla d'entrenament, que sigui prou progressiu per poder-lo fer, però que arribi al resultat en 20 dies. Aleshores se li presenten unes quantes opcions:

Progressió aritmètica: Cap problema. Com que són 20 dies i 10 Km, cada dia augmento 0.5 Km i així arribo a l'objectiu: el primer dia corro 0.5 Km; el segon, 1 Km; el tercer, 1.5 Km... i el vintè dia, 10 Km.

Fins aquí perfecte, però llavors s'adona que... si el primer dia corre 0.5 Km i el segon dia 1 Km, del primer al segon dia està doblant l'espai que corre, mentre que l'últim dia només passa de 19.5 Km a 20 Km, que és un percentatge molt petit.

Llavors es pregunta: i si cada dia augmento el mateix percentatge?

Progressió geomètrica: D'acord. El primer dia correré 0.5 Km. I llavors cada dia multiplicaré la distància recorreguda per un factor fix. Al segon dia hauré recorregut 0.5*k; al tercer, 0.5*k^2,... i al vintè, 0.5*k^19, que ha de ser 20. Això vol dir que k és l'arrel dinovena de 40, aproximadament 1.214280293.

Per tant, les distàncies que anirà recorrent seran:
0.5
0.6
0.74
0.90
...
16.47
20

Tampoc li agrada. Triga molt a córrer 1 Km, i a més, l'últim dia ha de córrer 3.5 Km més que el dia anterior. Ha passat d'una corba massa suau al final i massa gran al principi a tot just el contrari.

Paràboles: Llavors pensa: Ah, i si hi faig passar una paràbola? El primer dia corro 0.5 Km i l'últim dia, 10. Però... hi ha infinites paràboles que passen per aquests dos punts. Així que...

Bé, puc provar una primera opció. Com que vull acabar amb 10 Km, i arribar-hi bé, puc mirar que al vintè dia hi hagi el màxim de la paràbola. Començo una mica més fort, i llavors acabo més suau. En aquest cas, les distàncies corregudes serien:
0.5
1.47
...
Ui, no! Encara és pitjor que el cas de la progressió aritmètica!

I si imposo que hi hagi un mínim al dia 0? El dia en què encara no entreno? No m'aniria bé? I així començo mica en mica, gradualment. Aleshores, les distàncies serien:
0.5
0.57
0.69
0.86
...
7.36
8.19
9.07
10

Sembla més raonable, no? Comença mica en mica, i el final no sembla tan bèstia.

En cas d'haver de triar, quina opció triaríeu?

divendres, 7 d’agost de 2009

7,8,9,10,11,12...

Avui és dia 7-08-09.

Ara mateix són les 10:11 i 12 segons :-D

dimecres, 5 d’agost de 2009

Curset ràpid per aprendre les principals constel.lacions

És estiu. Nits a la fresca. Possibilitat de veure el cel. I... A qui no li va bé saber una mica d'astronomia per explicar a la companyia? :-D Que vaja, sempre queda bé, no?

Però, és clar, al cel hi ha moltes estrelles. Moltes! I les formes que surten als llibres són difícils de trobar. Perquè, de nit, ningú dibuixa línies entre les estrelles per indicar-nos que allò és una constel.lació en particular...

De totes formes, si a algú li interessa aprendre'n una mica, aquí hi ha un mini-curs d'un quartet d'hora. Molt senzill. I pràctic, perquè has d'anar clicant a les coses que et demana (i et demana per cada cosa uns quants cops).

De fet, no ensenya massa cosa. Però sí com distingir Orió, l'Ossa Major i Cassiopea. Bé, i Betelgeuse i l'estrella polar. I el Nord. I com saber si veus (o trobar) Júpiter. Suficient per poder parlar-ne una estoneta :-P