dissabte, 29 d’agost de 2009

Perímetres rectangulars

Imaginem-nos que tenim un paral.lelepípede (o sigui, un tetrabrick). Podem calcular-ne el que en podríem dir perímetres rectangulars, o sigui, el perímetre format per cadascuna de les seves cares (o el tros de corda que ens caldria per lligar-lo si fos una caixa i volguéssim embolicar-lo).

Per exemple, si el paral.lelepípede té costats d'1, 2 i 3 cm, els tres diferents perímetres rectangulars serien:

  • 2*1+2*2=6
  • 2*1+2*3=8
  • 2*2+2*3=10


Si ara agafem un paral.lelepípede més gran, de costats 1, 3 i 3, els perímetres quadrats serien:

  • 2*1+2*3=8
  • 2*1+2*3=8
  • 2*3+2*3=12

que són més grans que els de l'anterior.

Ara anem a fer el mateix, però al revés. Tenim dos paral.lelepípedes diferents. Els seus corresponents perímetres rectangulars són:

  • P1: 12, 16 i 20.
  • P2: 12, 16 i 24.

Quin dels dos paral.lelepípedes tindrà un volum més gran, el P1 o el P2?

La intuïció diu que P1 ha de tenir un volum més petit que P2. Però si faig la pregunta... seran iguals? Serà més gran el volum de P1?

Anem-ho a veure.

P1 té costats x1, x2 i x3. Degut als perímetres rectangulars, ha de complir les equacions següents:
2*x1+2*x2 = 12
2*x1+2*x3 = 16
2*x2+2*x3 = 20

El sistema té solució única, x1=2, x2=4 i x3=6. Per tant, el seu volum és 48.

Fent el mateix per P2, obtenim que els seus costats han de ser 1, 5 i 7. I, per tant, el volum és 35.

Així doncs, tot i que sembli estrany, P1 té més volum que P2.