dilluns, 11 de gener de 2010

Omplint àrees

He trobat un problema on preguntava què "omplia" més, un quadrat inscrit en una circumferència o una circumferència inscrita en un quadrat? O sigui, donat un quadrat d'àrea 1 i una circumferència d'àrea 1, què té més àrea: una circumferència inscrita en el quadrat o un quadrat inscrit en la circumferència?

El problema és força senzill, i demanava trobar-ho sense fer ús de cap tipus de calculadora.

Però, després d'això, se m'ha ocorregut una pregunta: hi ha algun polígon regular d'n costats que compleixi que la circumferència inscrita en un polígon regular d'n costats d'àrea 1 tingui la mateixa àrea que un polígon regular d'n costats inscrit en una circumferència d'àrea 1? Si no és així, quin dels dos és més gran? Depèn d'n?

Continua essent senzill, però m'ha semblat maco.

(Si ningú s'anima, la solució en uns dies).

4 comentaris:

Gerard ha dit...

He fet els calculets i he arribat a la desigualtat Pi=n*Pi/n>n*sin(Pi/n) (on n>3 és el nombre de costats).
Per tant, la proporció sempre és major a l'inscriure la circumferència en el polígon d'n costats (per si de cas he comparat gràfiques al maple).

matgala ha dit...

A mi em surt també el mateix (la proporció sempre és més gran quan s'inscriu la circumferència). Però la desigualtat em surt diferent... Com ho has calculat? (A mi a la desigualtat em sortien sin i cos, potser es pot simplificar...)

Gerard ha dit...

Per la proporció d'àrees quan s'inscriu la circumferència m'ha sortit això: Pi/(tan(Pi/n)*n)

Per la proporció d'àrees quan s'inscriu el polígon m'ha sortit això: n*cos(Pi/n)*sin(Pi/n)/Pi

Aquestes expressions les he tret amb pic i pala (vaja, amb les fórmules de calcular àrees de tota la vida per triangles i polígons regulars). Després, quan ho poses com a desigualtat, queda:

Pi^2>n^2*tan(Pi/n)*cos(Pi/n)*sin(Pi/n)=n^2*sin^2(Pi/n) i finalment, traient l'arrel quadrada, queda el que t'he dit més amunt.

Que la desigualtat es compleix es dedueix de la identitat que he posat abans. No t'ha donat el mateix?

matgala ha dit...

Sí, sí, tens raó. El problema és que jo ho havia calculat respecte al sin(2pi/n) i recordava que sortia una mica diferent, però no ho tenia davant.

Jo ho vaig fer igual que tu.