dilluns, 27 de juny de 2011

Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?

Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.

Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.

Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?



Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?

Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?

Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que

$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$

el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.

Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?

Doncs precisament la hipèrbola!

Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.

4 comentaris:

Alasanid ha dit...

M'ha encantat!! És molt senzill de demostrar i diria que aquest cas ni ens l'han comentat a la facultat.

matgala ha dit...

Gràcies, Alasanid. Ho vaig trobar en un llibre...

No veig gaire clar això de que les velocitats hagin de ser iguals (sé poca física, jejeje), però m'imagino que si les pedres són semblants i es llancen amb velocitats semblants...

Alasanid ha dit...

Això que dius de les velocitats.. doncs és depenent del medi que és per on es propaga la pertorbació.

El que passa és que hi ha medis anisòtrops en què no totes les direccions tenen les mateixes característiques.

Ara bé, en una bassa pot servir com a primera aproximació (si la velocitat no fos constant, no descriurien circumferències).

matgala ha dit...

Sí, sí, que les ones propagades que una sola pedra es mouen a la mateixa velocitat, això ja ho tinc clar (com bé dius, sinó no serien circumferències).

El que no tinc tan clar és que si primer llenço una pedra i després una altra, la velocitat d'una ona sigui la mateixa que l'altra. No dependria de la força que fes en entrar a l'aigua? Bé, jo no sé física...