dilluns, 31 de maig de 2010

Les velocitats dels diferents estils

Parteixo d'un problema senzill de matemàtiques aplicades a la vida quotidiana. M'imagino, per un moment, que sóc una espècie de màquina i que sempre camino a la mateixa velocitat (independentment de la distància i del terreny) i que també corro sempre a la mateixa velocitat. Però no sé aquestes velocitats.

El primer dia surto de casa i camino 3 Km i en corro 7. En total, he estat fora de casa durant 78 minuts i 9 segons. Puc saber a quina velocitat corro i a quina velocitat camino? Doncs no. Puc dir, per exemple, que si camino a 4.5 Km/h, aleshores corro a 11 Km/h. Però, com sé a quina velocitat camino? Només tinc una equació i dues incògnites.

Si el dia següent surto i camino 2 Km i en corro 6 i el rellotge marca 60 minuts i 16 segons, aleshores sí que podré saber a quina velocitat corro i a quina camino. Només em caldrà resoldre el sistema:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{3}{x}+\frac{7}{y} = \frac{78.15}{60} \\
\frac{2}{x}+\frac{6}{y} = \frac{60.26}{60}
\end{array}
\right.
$$

El resultat em donarà les velocitats en Km/h: 5.1 Km/h quan camino i 9.8 Km/h quan corro.

Però, òbviament, no sóc una màquina, i després d'entrenar semblaria que les meves velocitats han d'augmentar. Per no parlar del fet que no és el mateix córrer 3 Km que córrer-ne 10, però obviaré aquest fet en una primera iteració i em centraré només en calcular les velocitats... però en comptes de fer-ho per caminar/córrer, ho faré pels estils de la natació.

Puc començar amb el mateix problema, però pensant que vaig a la piscina, nedo una estona, i sé quant de temps he estat a l'aigua i quants metres he fet de cada estil. Com puc trobar la velocitat mitjana de cada estil?

Una primera manera és anar a la piscina quatre dies i resoldre el sistema. Però... la velocitat en cada estil no és sempre la mateixa! A part de la dificultat de resoldre el sistema...

Tot ha començat amb la idea de tenir una espècie de càlcul senzill en el que pugui anar veient l'evolució de les velocitats dels diferents estils. Tenint en compte que tinc mala memòria i ja tinc prou feina a recordar quants metres he fet de cada estil i quants minuts hi he estat, i per tant és difícil que pugui recordar quant de temps he estat fent cada sèrie.

El simple fet de veure "evolució" m'ha fet pensar en un mètode iteratiu.

Així doncs, el primer dia què sé? A part de que feia molt que no nedava i que estic molt cansada i que abans anava molt més ràpid i bla, bla, bla? Doncs el primer dia només tinc les distàncies i el temps. Sembla lògic que la meva velocitat de crol serà més ràpida. Fa molts anys la de papallona se li acostava. Després anava l'esquena. Després la braça. Però, i ara? I en quin percentatge serà millor?

La "llavor inicial" haurà de ser, doncs, la millor aproximació que tinc: la mateixa velocitat mitjana per tots els estils.

I després?

Doncs després està clar que si faig moltes més piscines d'un determinat estil, aquest haurà de "predominar" a l'hora de canviar les velocitats. Però també he de tenir en compte les velocitats anteriors...

En el meu cas m'he decidit a aplicar una fórmula per calcular la nova velocitat per cada estil:

$$
v_{estil} = v_{estil} + (v_{mitjana_avui}-v_{anterior})p_{estil}.
$$

La velocitat mitjana d'avui està clara: la velocitat mitjana que he fet avui sense tenir en compte els estils que he fet servir.

La velocitat anterior (a falta d'un millor nom) és la velocitat mitjana a la que hagués anat si realment hagués anat amb les velocitats que tenia calculades del dia abans per cada estil. O sigui, que si vaig realment a aquella velocitat, la velocitat mitjana seria igual que l'anterior. I, com més diferència hi hagi entre les dues, és que estic fent un error més gran.

Per últim, la p és el tant per u de metres que he fet amb aquell estil. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ serà igual per tots els estils, però és lògic que l'estil que he utilitzat més durant el dia estigui més penalitzat a l'hora de canviar les velocitats. Això sense tenir en compte que si un dia faig totes les piscines amb el mateix estil (quin avorriment!), aleshores aquesta fórmula posarà exactament la meva velocitat en aquell estil i els altres els deixarà com estaven.

I ara la pregunta...

El mètode acabarà convergint? Comptant, és clar, que jo tingui un ritme regular que no varii massa d'un dia per l'altre.

Començant per alguna altra aproximació, el mètode també convergiria?

Sí, tot depèn de les unitats. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ pot ser molt gran depenent del que siguin aquestes velocitats... Bé, no treballaré amb velocitats (a sobre!) sinó que aquestes $v$ seran els temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres. O sigui, que les diferències poden ser grosses.

I ara la segona pregunta...

Què passa si en algun moment tinc una velocitat negativa?

Doncs jo em mullo (jajaja), i dic que el mètode acabarà convergint (tot i que no estic segura de quantes iteracions li caldran perquè s'acosti a alguna cosa "bona"). També dic que al principi hi haurà moltes oscil.lacions però dubto que hi hagi alguna velocitat negativa. Per haver-hi alguna velocitat negativa, en algun moment s'hauria de donar el cas que la diferència entre velocitats mitjanes fos més gran que alguna velocitat per algun estil. No descarto del tot tanta variabilitat, però em sembla que no hi arribaré. Tot i així, encara que al principi varii molt, jo crec que al final acabarà tendint al que li toca.

Quan hagi fet uns quants entrenaments i tingui algunes gràfiques, ja les ensenyaré. Tot i que, em torno a mullar, no crec que acabi convergint fins cap a les 100 iteracions. I això poden ser uns quants mesos...

AVIS: Fins i tot abans de publicar el missatge (i de fer cap piscina, que no em puc donar d'alta fins al juny!) ja tinc una "millora" del mètode que no sé si és millora. La "millora" es publicarà automàticament el divendres...