divendres, 4 de juny de 2010

Les velocitats dels diferents estils (una millora?)

Parlava l'altre dia del meu "problema" que consistia a trobar les velocitats mitjanes de cada estil usant un mètode iteratiu, amb les dades de la distància recorreguda amb cada estil i el temps total.

Per mi és molt més senzill pensar la velocitat com el temps que trigo a fer 100 metres. És una cosa "palpable" i en la que de seguida es pot veure una variació. De moment compto aquest temps en minuts, però no descarto canviar a segons si això em va millor. Per tant, a partir d'ara, cada cop que digui "velocitat" estaré dient "el temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres".

Així doncs, jo coneixo les velocitats del dia anterior: $v_{c_{ant}}$, $v_{p_{ant}}$, $v_{e_{ant}}$ i $v_{b_{ant}}$, així com les distàncies que he recorregut de cada estil: $d_c$, $d_p$, $d_e$ i $d_b$ (i per tant, la distància total que he recorregut avui, $d$). I, per últim, conec el temps que he nedat avui, $t$.

Amb aquestes dades, jo puc calcular la velocitat mitjana a la que he anat avui, $v_{mitjana} = 100 t/d$, així com la velocitat mitjana a la que hagués anat si hagués anat amb les velocitats calculades del dia anterior:
$$
v_{anterior} = \frac{d_c v_{c_{ant}}+d_p v_{p_{ant}}+d_e v_{e_{ant}}+d_b v_{b_{ant}}}{d}.
$$

D'acord, fins aquí no he dit res nou. Tot és el mateix que el que vaig dir dilluns. La diferència entre aquestes dues velocitats serà la que em dirà "com de lluny" estic de les velocitats actuals, i per tant, quant he de canviar aquestes velocitats.

Però, amb el mètode de l'altre dia, les velocitats "noves" no em garanteixen que la velocitat mitjana sigui la que ha de ser. Així que m'he plantejat que per cada estil, podria tenir una nova velocitat que hauria de ser:
$$
v_{estil} = v_{ant_{estil}} + (v_{mitjana}-v_{anterior}) p_{estil} k,
$$
on $p_{estil}$ és com l'altre dia el tant per u nedat d'aquell estil i $k$ és una determinada constant, igual per tots els estils.

Doncs ara només es tracta d'agafar aquestes noves velocitats, calcular quina seria la velocitat mitjana en aquest cas, igualar-la a la velocitat mitjana del dia, resoldre l'equació i trobar $k$.

El procediment és molt fàcil (només cal escriure-ho tot i resoldre una equació lineal), però és pesat d'escriure, així que poso directament el valor de $k$ que surt:
$$
k = \frac{d^2}{d_c^2+d_p^2+d_e^2+d_b^2}.
$$

Però, cal anar amb compte amb una cosa... si per alguna cosa un dia faig totes les piscines del mateix estil, em seguirà fent el mateix que amb l'altre mètode?

Doncs sí, per com l'he construït, i perquè $k=1$.

Més coses, quins valors pot prendre $k$? Doncs com a molt petit serà 1, i com a molt gran, si la freqüència de cada estil és 1/4, podrà valer 4. En aquest últim cas, $p_{estil} k=1$.

Està clar que, com que la $k$ en aquest cas sempre és més gran que 1, les variacions de les velocitats seran més grans. Si sempre anés a la mateixa velocitat (aproximadament), tinc bastant clar que aquest mètode convergiria més ràpid (és més una intuïció que no pas que hagi fet els càlculs).

La pregunta és, doncs, quin d'aquests dos mètodes convergirà més ràpid? El primer o aquesta "millora"?

Com que a finals de juliol me'n vaig de congrés, i a l'agost no sé si podré seguir un ritme regular (amb la conseqüent pèrdua de velocitat), miraré de publicar uns primers resultats a finals de juliol. Ara deixo el tema de les velocitats per un temps... o no :-D