Por qué algunas antenas son parabólicas?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al segon Carnaval de matemáticas.

Antes de empezar, qué es una parábola?

Pues una parábola es una cónica (o sea, se obtiene de la intersección de un cono y un plano) que se puede definir como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto F (que llamaremos foco) y de una recta d que no contiene el punto (que llamaremos directriz).

Pero, por qué esta definición y no otra? Pues porque necesitaré el foco.

De qualquier modo, si la distancia entre el foco y la directriz es $\frac{1}{2a}$, mediante rotaciones y translaciones, se puede colocar la directriz en $y=-\frac{1}{4a}$ y el foco en el punto $(0,\frac{1}{4a})$. Este foco y esta directriz generan la parábola $y=ax^2$.

Las parábolas tienen una propiedad muy interesante, que es que qualquier rayo que entre perpendicular a la directriz (en nuestro caso, vertical), cuando se refleja en la parábola, pasará por el foco. De hecho, a parte de pasar por el foco, el rayo se volverá a reflejar en la parábola y volverá a salir perpendicular a la directriz (o sea, vertical, o lo que es lo mismo, en la misma dirección en la que había entrado, pero en sentido contrario).

Para probar esta propiedad, es suficiente ver que dada la parábola $y=ax^2$ y un punto de la parábola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mismo ángulo con la tangente en el punto que la recta que va del punto al foco. O sea, mirando el gráfico, se tiene que ver que los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son los mismos.

(Por simetria, se puede suponer que $b$ és positivo, y también se puede suponer que $b$ es distinto de cero, porque en el caso de que sea 0, es obvio que pasa por el foco).



Pero el ángulo $\beta$ es el mismo que se forma entre los segmentos FQ y QP, donde Q es el punto donde la tangente corta el eje de ordenadas. Por tanto, sólo hace falta ver que el triangulo FQP es isosceles.

Como que el pendiente de la recta tangente en el punto $(b,ab^2)$ es $2ab$, la recta tangente es

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sea

$$y=2abx-ab^2. $$

Por tanto, el punto Q es $(0,-ab^2)$.

El segmento FQ tiene una longitud de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segmento FP tiene una longitud de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, el triangulo es isosceles, los ángulos son iguales y todos los rayos que llegan verticales se reflejan y pasan por el foco.

De hecho, con esto, también se puede ver que qualquier rayo que esté a distancia $c$ del eje, tiene que recorrer la misma distancia para reflejarse y llegar al foco.

Esta distancia es:

La distancia hasta llegar a reflejarse en un punto: $c-ab^2$.

La distancia desde la parábola al eje: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, la distancia siempre es $c+\frac{1}{4a}$.

Si, pero las parábolas son curvas, no superficies, y vivien en el plano, no en el espacio. Por eso, para construir antenas, se utilizan paraboloides de revolución, que son las superficies que se obtienen haciendo girar una parábola de este estilo entorno al eje de ordenadas.

Estos paraboloides tienen la misma propiedad que las parábolas: cualquier rayo que entre perpendicular a la directriz se reflejará en el paraboloide y pasará por el foco. Por tanto, sólo hace falta poner el receptor en el foco, dónde se sabe que pasaran todas las ondas. Es más, el tiempo entre que se emitan y que lleguen al foco sólo dependerá de la distancia a la antena, no del punto dónde se hayan reflejado.

Y ya para finalizar, esta propiedad de los paraboloides es la misma que usan los flashes de las cámeras, pero a la inversa: emitiendo una luz desde el foco, esta se reflejará en rayos siempre perpendiculares a la dirección en que queramos, y para qualquier plano donde "enfoquemos" el flash, la luz llegará siempre al mismo tiempo.