dissabte, 11 de novembre de 2006

Curiositats sobre fraccions

Comencem calculant el resultat de dividir 100/89. Dóna 1.1235955... Fixem-nos en la part en negreta. Sí, són els nombres de Fibonacci: començant una successió per 1, 1, cada nombre és obtingut com la suma dels dos anteriors, així que la successió comença 1, 1, 2, 3, 5, 8... i, per tant, els quatre primers decimals de 100/89 coincideixen amb els nombres de la successió de Fibonacci.

Calculem ara 10000/9899. Ens dóna 1,0102030508132134559046368320032. Veiem que aquest cop, si dividim el nombre que ens dóna en trossets de dues xifres, la fracció ens dóna els deu primers nombres de la successió de Fibonacci.

No contents amb això, seguim calculant. Aquest cop 1000000/998999. El resultat és 1,001002003005008013021034055089144233377610. Efectivament, dóna els 15 primers nombres de Fibonacci, si agafem 3 dígits per representar-los.

La fracció que segueix, 100000000/99989999, dóna els 20 primers nombres de Fibonacci, prenent cada nombre representat amb 4 xifres.

Si anem construint funcions d'aquest estil, afegint dos zeros al numerador, i un 9 a davant i darrere del denominador, es van obtenint cada cop més i més nombres de Fibonacci. La demostració és bastant senzilla i es pot trobar aquí.

Temes: