pi con sumas y productos infinitos

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al primer Carnaval de matemáticas.

$\pi$ es un número que se define simplemente como la proporción entre la longitud de una circumferencia y su diámetro.

Sin embargo, durante la historia de las matemáticas, se han encontrado diversas fórmulas que permiten calcular el número $\pi$ a través de sumas o productos infinitos.

La primera vez que alguien encontró una fórmula de este tipo fue François Viète. En 1593 publicó el que sería el primer producto infinito de la historia de la matemática, con el que se puede obtener el número $\pi$:

$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$

Esta fórmula proviene de cálculos trigonométricos.

Sólo con estos términos, la aproximación de $\pi$ que se obtiene es de 3.12. Añadiendo un término más, el resultado es de 3.1365. La aproximación siguiente es 3.1403.

Medio siglo más tarde, en 1655, John Wallis encontró otra forma de calcular $\pi$ usando un producto infinito:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$

conocido actualmente como el producto de Wallis.

En este caso, los términos del producto son más fáciles de calcular. Pero para el número de términos de la fórmula se obtiene una aproximación de $\pi$ de 2.9. Añadiendo 4 términos más, la aproximación es de 3.002, y se va acercando muy lentamente al valor de $\pi$.

Ya para finalizar, una aproximación de $\pi$ usando la suma de una serie infinita. Esta es debida a James Gregory, que en 1671 publicó la fórmula:

$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$

conocida como la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que proviene de la serie de Taylor del arco tangente, calculada para arctan(1).

Esta fórmula también converge muy lentamente a $\pi$ y se necesitan unos 300 términos para obtenerlo con 2 decimales correctos!

Fuente: e: the Story of a Number.