dissabte, 27 de gener de 2007

Triangles i rectes

Comencem amb un problema que sembla senzill.

Quants triangles que no es superposin es poden construir amb n rectes?

Està clar que amb 1 o 2 rectes no es pot construir cap triangle. I que amb 3 rectes se'n pot construir només 1. Amb 4 rectes se'n poden construir 2. Amb 5 rectes, 5. Però a partir d'aquí... a partir d'aquí la cosa es complica i és bastant embolicat de trobar el número de triangles que hi ha.

Pels casos amb poques rectes, els dibuixos són més o menys fàcils de trobar:



En el cas de 15 rectes, ens trobem amb aquesta bonica imatge:



que, per cert, sembla bastant difícil de fer "a mà". En el dibuix hi ha 65 triangles, per si algú ho vol comprovar.

Segons sembla, hi ha una cota superior pel màxim nombre de triangles per a cada número de rectes, que en alguns casos no s'ha demostrat que s'arribi a assolir. Aquest màxim és la part entera de n(n-2)/3.

El problema s'anomena problema dels triangles de Kobon, però no he aconseguit trobar el perquè. Segons sembla, el Kobon és un llenguatge que es parla a Papua Nova Guinea, però no hi trobo la relació.

Més informació aquí o aquí.