dissabte, 13 d’agost de 2005

El problema de la setmana - dos números

Dos persones estan parlant:

- Estic pensant en un número més petit que 100.
- Jo també.

Una persona li diu el número que ha pensat a l'altra.

- T'has fixat que si sumem el número que has pensat tu i el número que he pensat jo i elevem el resultat al quadrat obtenim un número de quatre dígits, en el que els dos primers dígits són el número que has pensat tu i els altres dos el número que he pensat jo?
- Sí, tens raó, com si haguéssim pensat en el 30 i el 25, que si els sumem ens dóna 55 i si elevem el 55 al quadrat ens dóna 3025.
- Exactament. Només que els números que hem pensat no són ni 30 ni 25.

Quins són els números?

Setmana anterior

Setmana següent

4 comentaris:

escaquejant ha dit...

Una bonica conversa... ben normal, per altra banda...

Bé, vaig als números:

Deien els dos místics que (X+Y)^2 = 100X + Y
Desenvolupant l'equació de segon grau i quedant-nos només amb la que ens dóna l'arrel positiva (no ens convé que Y quedi negatiu), resulta que Y=(-2X+1 + arrel(396X+1))/2

però si volem que Y sigui enter, cal que arrel(396X+1) també ho sigui...

Sabem, llavors, que 396X = n(n+2), doncs n(n+2) + 1 = n^2+2n+1 = (n+1)^2.
Si descomposem 396, resulta que és 2*2*3*3*11, o sigui que amb aquests factors i els que incorpori X (què serà...?) hem d'aconseguir dos números n, i n+2 que difereixin només en 2.
Per la solució que proposa el problema, però que resultava no haver estat pensada pels místics, X=30, teníem els divisors 2,2,3,3,11 i 2,3,5, que distribuits amb 2*2*3*3*3=108 i 2*5*11=110 permetien la solució del problema. D'aquí a la Y, hi ha només un pas.
Ara la qüestió és jugar canviant divisors per trobar un X diferent que permeti generar uns altres n i n+2.
I aquí em planto. Remenant números, crec que he trobat un altre X que genera això, però no el posaré perquè no em cap al marge (i per deixar temps a que algú busqui la solució, potser per mètodes més senzills...)

matgala ha dit...

Bona, aquesta de que no et cap al marge :-)

De fet, per ajudar (o no?) diré que hi ha 3 parelles de números que ho compleixen: la que diuen al problema, de 30 i 25, la que es demana (que no diré) i una altra, formada pels números 20 i 25 (que no serveix, perquè ja ens han dit que no hi ha ni 30 ni 25).

D'on vaig treure el problema, només hi posava la solució que es demana. No posava ni com arribar-hi ni res. I jo em vaig preguntar: "No pot ser que només hi hagi aquestes dues parelles!"

Tinc la "seguretat" (excepte error de càlcul) que només hi ha les 3 parelles que esmento. Jo vaig aconseguir-ho d'una altra forma, més per assaig i error (fitant un dels nombres i després provant, no eren tants...)

En el cas del 20 i 25, tal com ho ha fet l'escaquejant, els factors de 20 serien 2*2*5, i els números el 2*2*2*11=88 i 2*3*3*5=90.

Faltaria un cas, que és el que es demana...

escaquejant ha dit...

La veritat és que la solució que no em cabia al marge era la del 20 i 25...

Però seguint amb el mètode trobo que, si renuncio a només un 2 dels factors del 396 i multiplico aquest factor a 98 o a 100, obtinc les parelles 198,196 o bé 198, 200 (que no serveix al tenir 100 tres xifres).

Efectivament, arrel(198*196+1)=197, així que provaré amb la X=98.
Aplicant la fórmula, obtinc Y=1, i em quedo amb els números 98 i 01, on (98 + 01)^2= 9801.
El que no sé és si el fet que l'1 tingui una xifra és un inconvenient per a l'enunciat, ja que si concatenem 98 i 1 obtenim 981...

matgala ha dit...

De fet, aquesta és l'altra solució que he trobat jo: el 98 i l'1.

No hi ha cap problema amb l'enunciat, pel fet que sigui un número només d'una xifra: la condició és que fos un número més petit que 100 (que ja ho és) i que al fer el quadrat quedessin dos nombres de dues xifres. Com que l'1 només en té una, se li afegeix un 0 al davant.

Et dóno el punt i poso un problema de la setmana nou facilet. Se m'estan acabant les idees i aquests dies, malgrat les vacances, tinc poc temps per trobar algun problema. Així que s'accepten propostes.