dilluns, 8 d’agost de 2005

Arrels complexes visibles

Això està tret de la pàgina Mudd Math Fun Facts, on hi ha diferents coses interessants per ensenyar als alumnes, que no s'avorreixin i s'interessin una mica.

En aquest cas, es tracta de les arrels complexes de les paràboles, com localitzar-les gràficament un cop es té la paràbola dibuixada. Com molt bé explica aquí, el que s'ha de fer és fer la simetria de la paràbola respecte del vèrtex i trobar els punts de tall d'aquesta nova paràbola amb l'eix de les X. Amb aquests dos punts, construir una circumferència on els dos punts siguin els extrems d'un diàmetre (i, per tant, la circumferència està centrada en el punt de l'eix de les X on hi ha el vèrtex de la paràbola). Aleshores, les dues arrels complexes (mirant ara el pla com si fos el pla complex) són els punts de la circumferència que tenen per component x la mateixa que el centre de la circumferència (o la del vèrtex de la paràbola).




La raó? Qualsevol paràbola es pot posar com y=k(x-a)^2+b. N'hi ha prou a desenvolupar això per veure-ho: kx^2-2akx+ka^2+b. Si agafo, com a exemple, la paràbola y=2x^2-8x+10 (la que hi ha d'exemple al lloc d'on he robat la imatge i tot això... ja no ve d'aquí), es pot posar com y = 2(x-2)^2+2. Si la paràbola en qüestió no talla l'eix de les x, k i b tenen el mateix signe. El vèrtex de la paràbola es troba a x=a.

La paràbola simètrica a la que tinc respecte del vèrtex és y=-k(x-a)^2+b. Aquesta tallarà l'eix de les x en dos punts, que són x=a+sqrt(b/k) i x=a-sqrt(b/k).

Els punts de la circumferència centrada al punt (a,0) i de radi sqrt(b/k) que passen per la recta x=a són (a, sqrt(b/k)) i (a, -sqrt(b/k)).

Quines són les arrels de la paràbola inicial? No cal descomposar i aplicar la fórmula, simplement:

k(x-a)^2+b=0

k(x-a)^2=-b

(x-a)^2=-b/k

Com que b i k tenen el mateix signe, la part de la dreta de la igualtat és negativa, així que fent l'arrel, sortiran complexes:

x-a= +-sqrt(b/k)i

I, per tant, les solucions són x = a +- sqrt(b/k)i, que són exactament les que s'han representat en el pla complex mitjançant la paràbola simètrica i la circumferència.