diumenge, 17 de desembre de 2006

Centered cube numbers

Fa unes setmanes vaig posar com a problema de la setmana una successió basada en els centered cube numbers. A cada terme es tractava de sumar dos números consecutius elevats al cub:

0^3+1^3 = 1
1^3+2^3 = 9
2^3+3^3 = 35

i així anar fent.

Aquesta setmana, però, R. Vicens m'ha donat una solució, que seguia la mateixa successió, però que no consistia (explícitament) a sumar els cubs de dos números consecutius:

He trobat una solució que no és la suma de 2 cubs consecutius, cada terme és el resultat d'un producte AxB, on A és la successió de nombres imparells i B és la suma de la B anterior (Bo=1) + (2 cops el núm. d'ordre del terme que busquem) -2

T=AxB
1. 1=1x1 (Bo=1)
2. 9=3x3 (B=1+2+2-2)
3. 35=5x7 (B=3+3+3-2)
4. 91=7x13 (B=7+4+4-2)
5. 189=9x21 (B=13+5+5-2)
6. 341=11x31 (B=21+6+6-2)
7. 559=13x43 (B=31+7+7-2)
8. 855=15x57 (B=43+8+8-2)
13/12/06 23:24


Les dues successions són exactament la mateixa. Segons aquesta segona expressió de la solució, la successió hauria de ser:

(2*n-1)*a_n

On a_n segueix la recurrència: a_n = a_(n-1) + 2*(n-1).

Si es resol aquesta recurrència, s'arriba a que el terme general és:

a_n = n^2-n+1

I aleshores, si es fa la multiplicació (2n-1)*(n^2-n+1) dóna 2n^3-3n^2+3n-1 = n^3+(n-1)^3.

Com a curiositat, dir que el polinomi n^2-n+1 no té arrels reals, però les arrels complexes són (1-arrel(3)i)/2 i (1+arrel(3)i)/2, que són precisament les dues arrels cúbiques de -1 no reals (cosa curiosa, ja que els números s'obtenien amb la suma de nombres al cub).

Si fem córrer els índexos de forma que la successió sigui n^3+(n+1)^3, aleshores el producte és (2n+1)*(n^2+n+1). Altre cop, si descomposem el segon polinomi, ens dóna com a arrels: (-1-arrel(3)i)/2 i (-1+arrel(3)i)/2, que en aquest cas no són les arrels cúbiques no reals de -1, sinó que són les arrels cúbiques no reals de 1.

M'ha semblat curiós. No sé si hi haurà més propietats amagades. A la wikipedia hi posa que tenen aplicacions modelant la forma exterior dels àtoms (o alguna cosa similar). Però no he sabut trobar exactament on es fan servir.

4 comentaris:

Anònim ha dit...

tambien, s(n+3)-3*s(n+2)+3*s(n+1)-s(n)=12, con s(1)=1, s(2)=9 y s(3)=35 y s(n)=n^3+(n-1)^3

matgala ha dit...

No entenc el comentari, vull dir que no entenc el que vols dir.

Anònim ha dit...

La sucesion
s(n)={1,9,35,91,189,341,559,...}, con termino general igual a
s(n)=n^3+(n-1)^3, tambien puede representarse por la ecuacion
s(n+3)-3*s(n+2)+3*s(n+1)-s(n)=12 y
condiciones iniciales
s(1)=1, s(2)=9 y s(3)=35

matgala ha dit...

Tens raó. Perdona, el primer cop estava una mica despistada.