dilluns, 31 d’octubre del 2005
Mat en quatre
A la següent posició, el blanc pot fer mat en quatre jugades de més d'una manera. De quantes maneres pot fer mat?
A part, poso la solució a l'últim problema que vaig posar, que es va quedar com una mica abandonat.
A part, poso la solució a l'últim problema que vaig posar, que es va quedar com una mica abandonat.
dissabte, 29 d’octubre del 2005
El problema de la setmana - 64
Aquesta setmana el problema consisteix a escriure el número 64 utilitzant només dues vegades el número 4. A part dels dos quatres, es poden utilitzar tots els símbols matemàtics que es vulguin (suma, resta, multiplicació, divisió, potències, logaritmes, arrels, factorials...) sempre i quan els únics números que hi apareguin sigui dos quatres.
Setmana anterior
Setmana següent
Setmana anterior
Setmana següent
dilluns, 24 d’octubre del 2005
Creuar el riu
Aquí hi podreu trobar un d'aquells jocs de creuar el riu. No és excessivament difícil (en 4 o 5 minuts surt la solució fàcil) però és entretingut.
Es tracta d'una família amb els pares, dos nens i dues nenes. A més, hi ha un lladre i un policia. Les regles per passar la gent a l'altra banda del riu són les següents:
- El pare no es pot quedar amb cap nena si no hi ha la mare (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- La mare no es pot quedar amb cap nen si no hi ha el pare (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- El lladre no es pot quedar amb cap membre de la família si no hi ha el policia (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- La barca només té lloc per dues persones.
- Només poden conduir la barca el pare, la mare i el policia.
Per entrar, s'ha de clicar el link de dalt i prémer el botó blau.
Es tracta d'una família amb els pares, dos nens i dues nenes. A més, hi ha un lladre i un policia. Les regles per passar la gent a l'altra banda del riu són les següents:
- El pare no es pot quedar amb cap nena si no hi ha la mare (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- La mare no es pot quedar amb cap nen si no hi ha el pare (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- El lladre no es pot quedar amb cap membre de la família si no hi ha el policia (ni a cap banda de riu ni a la barca).
- La barca només té lloc per dues persones.
- Només poden conduir la barca el pare, la mare i el policia.
Per entrar, s'ha de clicar el link de dalt i prémer el botó blau.
diumenge, 23 d’octubre del 2005
El problema de la setmana - 3 números
Es tracta de trobar tres números (enters i positius, per si de cas) que compleixin la propietat que si es multipliquen dos dels números i es divideixen pel tercer, sempre dóna 1 com a residu.
Per exemple, si tenim 1, 2 i 3, si multipliquem 3*1=3 i dividim per 2, dóna 1 com a residu. Però aquests números no ho compleixen, perquè si multipliquem 2*1=2, i al dividir per 3 dóna 2 com a residu.
Setmana anterior
Setmana següent
Per exemple, si tenim 1, 2 i 3, si multipliquem 3*1=3 i dividim per 2, dóna 1 com a residu. Però aquests números no ho compleixen, perquè si multipliquem 2*1=2, i al dividir per 3 dóna 2 com a residu.
Setmana anterior
Setmana següent
diumenge, 16 d’octubre del 2005
Cadena més llarga
El problema de la setmana passada va portar una mica de polèmica, perquè jo vaig llegir per sobre com era la solució, i al final va resultar que ho havia llegit una mica malament.
Abans de començar amb la cadena de tres símbols, es comença amb una cadena de dos símbols, anomenada sèrie de Thue. Es comença per 01 i a cada pas es substitueix cada 0 per 01 i cada 1 per 10. Així, s'obtenen cadenes, cada cop del doble de longitud de l'anterior:
01
0110
01101001
0110100110010110
Com es pot observar, cada cadena té el doble de longitud que la anterior i, a més, la primera meitat de cada cadena és exactament la cadena anterior.
Aquestes cadenes compleixen (faig un acte de fe i m'ho crec) que cap bloc d'un o més dígits es repeteix 3 vegades consecutives. Es poden repetir dos cops, però mai tres.
Com que aquest pas de canviar els 0 per 01 i els 1 per 10 es pot fer tantes vegades com es vulgui, aquesta sèrie es pot aconseguir amb el nombre de dígits que es vulgui.
Aleshores, per aconseguir la sèrie desitjada, només cal substituir els 00 i 11 per 1, els 10 per 2 i els 01 per 3. Així, la sèrie que surt compleix la propietat (segons el llibre, jo faig un acte de fe). I com que la sèrie de Thue és infinita, aquesta també ho serà.
En el cas de l'exemple, la sèrie seria:
312321312132312
I així se'n pot construir una tan llarga com es vulgui.
Abans de començar amb la cadena de tres símbols, es comença amb una cadena de dos símbols, anomenada sèrie de Thue. Es comença per 01 i a cada pas es substitueix cada 0 per 01 i cada 1 per 10. Així, s'obtenen cadenes, cada cop del doble de longitud de l'anterior:
01
0110
01101001
0110100110010110
Com es pot observar, cada cadena té el doble de longitud que la anterior i, a més, la primera meitat de cada cadena és exactament la cadena anterior.
Aquestes cadenes compleixen (faig un acte de fe i m'ho crec) que cap bloc d'un o més dígits es repeteix 3 vegades consecutives. Es poden repetir dos cops, però mai tres.
Com que aquest pas de canviar els 0 per 01 i els 1 per 10 es pot fer tantes vegades com es vulgui, aquesta sèrie es pot aconseguir amb el nombre de dígits que es vulgui.
Aleshores, per aconseguir la sèrie desitjada, només cal substituir els 00 i 11 per 1, els 10 per 2 i els 01 per 3. Així, la sèrie que surt compleix la propietat (segons el llibre, jo faig un acte de fe). I com que la sèrie de Thue és infinita, aquesta també ho serà.
En el cas de l'exemple, la sèrie seria:
312321312132312
I així se'n pot construir una tan llarga com es vulgui.
El problema de la setmana - suma de quadrats
Aquesta setmana el problema és molt fàcil (va com va...) Com que és tan fàcil i estic generosa, les respostes me les podeu enviar al mail de la dreta i donaré punts a tots els que l'encerteu.
Es tracta de trobar 9 números consecutius, de forma que si es sumen els quadrats dels cinc primers, dóna el mateix que si es sumen els quadrats dels quatre últims.
Si el problema fos per 5 números, la solució seria:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
i si fos per 7 números:
21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2.
Setmana anterior
Setmana següent
Es tracta de trobar 9 números consecutius, de forma que si es sumen els quadrats dels cinc primers, dóna el mateix que si es sumen els quadrats dels quatre últims.
Si el problema fos per 5 números, la solució seria:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
i si fos per 7 números:
21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2.
Setmana anterior
Setmana següent
diumenge, 9 d’octubre del 2005
El problema de la setmana - Cadena més llarga
Es tracta de trobar la cadena més llarga que es pot aconseguir amb el 1, 2 i 3 sense que es repeteixi cap seqüència de símbols seguits.
Si només es fes amb l'1 i el 2, la seqüència més llarga tindria 3 símbols: 121 (o 212). Després de l'1 no es pot posar un altre 1 perquè es repetiria la seqüència d'uns. Per tant, després de l'1 hi va un 2. Després del 2 no es pot posar un altre 2, perquè es repetiria la seqüència 2. Així que s'ha de posar un 1: 121. I després d'aquest 1 no es pot posar un 1 perquè es repetiria la seqüència d'1 seguida, ni tampoc es pot posar un 2 perquè es repetiria la seqüència 12.
Un cop vist l'exemple de l'1 i el 2, es tracta de fer el mateix amb el 1, el 2 i el 3. Donaré el punt a qui posi la seqüència més llarga, i en cas de que no sigui la seqüència més llarga, donaré un exemple de la seqüència més llarga.
Exemples correctes: 12312
121312
Exemples incorrectes: 123123
1231212
12321321
(Espero que s'hagi entès bé).
Setmana anterior
Setmana següent
Si només es fes amb l'1 i el 2, la seqüència més llarga tindria 3 símbols: 121 (o 212). Després de l'1 no es pot posar un altre 1 perquè es repetiria la seqüència d'uns. Per tant, després de l'1 hi va un 2. Després del 2 no es pot posar un altre 2, perquè es repetiria la seqüència 2. Així que s'ha de posar un 1: 121. I després d'aquest 1 no es pot posar un 1 perquè es repetiria la seqüència d'1 seguida, ni tampoc es pot posar un 2 perquè es repetiria la seqüència 12.
Un cop vist l'exemple de l'1 i el 2, es tracta de fer el mateix amb el 1, el 2 i el 3. Donaré el punt a qui posi la seqüència més llarga, i en cas de que no sigui la seqüència més llarga, donaré un exemple de la seqüència més llarga.
Exemples correctes: 12312
121312
Exemples incorrectes: 123123
1231212
12321321
(Espero que s'hagi entès bé).
Setmana anterior
Setmana següent
dijous, 6 d’octubre del 2005
Ofegat
A l'any 1958, Chalomeiev i Gurin van arribar a la següent posició:
És el torn de les negres (està clar que si juguessin les blanques, guanyen amb Dd1#)
En aquest moment, Gurin va jugar 1. ... g1 i va deixar el peó a la vuitena fila sense reemplaçar-lo per cap altra peça. Quan Chalomeiev li va preguntar quina peça volia, va dir que volia una dama, però no va reemplaçar el peó per la dama.
Abans que la dama es posés a la casella g1, Chalomeiev va jugar 2. Dd1+! i, després de 2. ... Dxd1, el rei blanc està ofegat.
En aquest moment, l'àrbitre va intervenir i va dir que, com que no havia reemplaçat el peó per la dama, la jugada no estava acabada i el negre havia d'acabar la jugada. Li va demanar a Gurin quina peça volia. Gurin, tot content, va reemplaçar el peó per una torre. Acte seguit, Chalomeiev va jugar 2. Db5+! El negre s'ha de menjar la dama, i el rei blanc torna a estar ofegat!
És el torn de les negres (està clar que si juguessin les blanques, guanyen amb Dd1#)
En aquest moment, Gurin va jugar 1. ... g1 i va deixar el peó a la vuitena fila sense reemplaçar-lo per cap altra peça. Quan Chalomeiev li va preguntar quina peça volia, va dir que volia una dama, però no va reemplaçar el peó per la dama.
Abans que la dama es posés a la casella g1, Chalomeiev va jugar 2. Dd1+! i, després de 2. ... Dxd1, el rei blanc està ofegat.
En aquest moment, l'àrbitre va intervenir i va dir que, com que no havia reemplaçat el peó per la dama, la jugada no estava acabada i el negre havia d'acabar la jugada. Li va demanar a Gurin quina peça volia. Gurin, tot content, va reemplaçar el peó per una torre. Acte seguit, Chalomeiev va jugar 2. Db5+! El negre s'ha de menjar la dama, i el rei blanc torna a estar ofegat!
dimarts, 4 d’octubre del 2005
On és l'error?
Aquí hi ha diferents "demostracions" de coses que, òbviament, tenen algun error. Es tracta de saber quin és l'error.
Com que hi intervenen símbols matemàtics i no tinc ni idea de com posar-los en html i no tenia ganes de fer un pdf i enllaçar al pdf, ho he escrit a mà i ho he escanejat. Ja per endavant demano perdó per si algú no entèn la meva lletra. De totes formes, clicant a sobre la imatge, es veurà més gran.
Error 1: 1=2
El primer cop que vaig veure aquesta demostració d'1=2 feia primer de BUP. Així que és bastant fàcil veure on és el problema:
Errors 2: 0=1
Aquesta me l'han ensenyat avui. Just després de veure-la, m'ha recordat el segon error de 0=1, que acostumo a explicar a classe. Així que tant aquesta com la següent tenen el mateix error. I les dues "demostren" que 0=1.
Per no posar aquí la següent demostració de 0=1 seguida, poso una anècdota bastant coneguda d'en Bertand Russell, però per si algú no la coneix. Un dia estava al bar amb uns amics i va dir que si li deixaven admetre que 1+1=1, aleshores, podria demostrar qualsevol cosa. Aleshores un amic seu li va dir: "D'acord, suposa que 1+1=1 i demostra que ets el Papa". En Bertand Russell va contestar, sense pensar un moment: "Jo sóc una persona, el Papa també és una persona. Junts som 1+1 persones. Com que 1+1=1, els dos som una sola persona, i per tant, jo sóc el Papa".
Error 3: 1=-1
Ja per acabar, aquesta "demostració" que em va portar una alumna de classes particulars ahir al matí:
Com que hi intervenen símbols matemàtics i no tinc ni idea de com posar-los en html i no tenia ganes de fer un pdf i enllaçar al pdf, ho he escrit a mà i ho he escanejat. Ja per endavant demano perdó per si algú no entèn la meva lletra. De totes formes, clicant a sobre la imatge, es veurà més gran.
Error 1: 1=2
El primer cop que vaig veure aquesta demostració d'1=2 feia primer de BUP. Així que és bastant fàcil veure on és el problema:
Errors 2: 0=1
Aquesta me l'han ensenyat avui. Just després de veure-la, m'ha recordat el segon error de 0=1, que acostumo a explicar a classe. Així que tant aquesta com la següent tenen el mateix error. I les dues "demostren" que 0=1.
Per no posar aquí la següent demostració de 0=1 seguida, poso una anècdota bastant coneguda d'en Bertand Russell, però per si algú no la coneix. Un dia estava al bar amb uns amics i va dir que si li deixaven admetre que 1+1=1, aleshores, podria demostrar qualsevol cosa. Aleshores un amic seu li va dir: "D'acord, suposa que 1+1=1 i demostra que ets el Papa". En Bertand Russell va contestar, sense pensar un moment: "Jo sóc una persona, el Papa també és una persona. Junts som 1+1 persones. Com que 1+1=1, els dos som una sola persona, i per tant, jo sóc el Papa".
Error 3: 1=-1
Ja per acabar, aquesta "demostració" que em va portar una alumna de classes particulars ahir al matí:
diumenge, 2 d’octubre del 2005
El problema de la setmana - Quadrat antimàgic
Tinc pendent un post sobre els quadrats màgics, que acabaré d'escriure un any d'aquests. De totes formes, més o menys tothom sap què són els quadrats màgics: són quadrats amb nxn cel.les, on hi ha disposats els nombres des de l'1 fins a l'n^2, i on totes les files, columnes i diagonals sumen el mateix. Per exemple, el següent és un quadrat màgic 3x3:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Però el problema d'aquesta setmana no va de quadrats màgics, sinó de quadrats antimàgics. Un quadrat antimàgic també conté els nombres des de l'1 fins a l'n^2. La única diferència és que si sumem les files, columnes i diagonals principals, totes sumen diferent (o sigui, no hi ha cap fila que sumi el mateix que cap altra fila, columna o diagonal, i el mateix per columnes i diagonals).
No posaré cap exemple, el problema de la setmana consisteix a trobar una solució de quadrat antimàgic 3x3. El problema també té una restricció, que a més de fer que la solució sigui única (llevat de rotacions i simetries) també és una solució maca.
Es tracta de trobar un quadrat antimàgic de forma que per passar d'un nombre al següent, només es pugui fer passant a una cel.la adjacent en horitzontal o vertical (no en diagonal). Això redueix molt el número de possibilitats. Un exemple, que no seria un quadrat antimàgic, d'això seria:
9 8 7
2 3 6
1 4 5
Setmana anterior
Setmana següent
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Però el problema d'aquesta setmana no va de quadrats màgics, sinó de quadrats antimàgics. Un quadrat antimàgic també conté els nombres des de l'1 fins a l'n^2. La única diferència és que si sumem les files, columnes i diagonals principals, totes sumen diferent (o sigui, no hi ha cap fila que sumi el mateix que cap altra fila, columna o diagonal, i el mateix per columnes i diagonals).
No posaré cap exemple, el problema de la setmana consisteix a trobar una solució de quadrat antimàgic 3x3. El problema també té una restricció, que a més de fer que la solució sigui única (llevat de rotacions i simetries) també és una solució maca.
Es tracta de trobar un quadrat antimàgic de forma que per passar d'un nombre al següent, només es pugui fer passant a una cel.la adjacent en horitzontal o vertical (no en diagonal). Això redueix molt el número de possibilitats. Un exemple, que no seria un quadrat antimàgic, d'això seria:
9 8 7
2 3 6
1 4 5
Setmana anterior
Setmana següent
Subscriure's a:
Missatges (Atom)