dimarts, 4 d’octubre de 2005

On és l'error?

Aquí hi ha diferents "demostracions" de coses que, òbviament, tenen algun error. Es tracta de saber quin és l'error.

Com que hi intervenen símbols matemàtics i no tinc ni idea de com posar-los en html i no tenia ganes de fer un pdf i enllaçar al pdf, ho he escrit a mà i ho he escanejat. Ja per endavant demano perdó per si algú no entèn la meva lletra. De totes formes, clicant a sobre la imatge, es veurà més gran.

Error 1: 1=2

El primer cop que vaig veure aquesta demostració d'1=2 feia primer de BUP. Així que és bastant fàcil veure on és el problema:

1=2



Errors 2: 0=1

Aquesta me l'han ensenyat avui. Just després de veure-la, m'ha recordat el segon error de 0=1, que acostumo a explicar a classe. Així que tant aquesta com la següent tenen el mateix error. I les dues "demostren" que 0=1.

0=1



Per no posar aquí la següent demostració de 0=1 seguida, poso una anècdota bastant coneguda d'en Bertand Russell, però per si algú no la coneix. Un dia estava al bar amb uns amics i va dir que si li deixaven admetre que 1+1=1, aleshores, podria demostrar qualsevol cosa. Aleshores un amic seu li va dir: "D'acord, suposa que 1+1=1 i demostra que ets el Papa". En Bertand Russell va contestar, sense pensar un moment: "Jo sóc una persona, el Papa també és una persona. Junts som 1+1 persones. Com que 1+1=1, els dos som una sola persona, i per tant, jo sóc el Papa".

0=1



Error 3: 1=-1

Ja per acabar, aquesta "demostració" que em va portar una alumna de classes particulars ahir al matí:

1=-1

5 comentaris:

escaquejant ha dit...

A veure, ho intento:

- en la primera la trampa està en que es divideix per zero (a-b) els dos costats de la igualtat, que ja valien zero prèviament i que, per art de màgia, es positivitzen...

- en la segona m'he perdut amb les integrals (integrals per parts, buffff... si en fa de temps...). La mandra m'impedeix recuperar els apunts, però suposo que la resolució és correcta. No obstant, cal recordar que la integral és la inversa de la derivada, i que (f(x))' = (f(x) + C)', doncs (C)'=0 per la qual cosa l'única conclusió correcta en comparar dos resultats de la mateixa integral és que diferiran en una constant, en els dos casos exposats 1.

- en la tercera clarament la transgressió es produeix a l'afirmar que arrel(-1 x -1) = arrel(-1) x arrel(-1). Suposo que la regla arrel(a x b)=arrel(a) x arrel(b) afecta únicament a números positius...

Disculpes d'avantmà pel meu rovell numèric...
Apa

Myrddin ha dit...

No sé on estan els errors dels primers, sembla una xorrada peró no sé veure el de 1=2, però vaja, en algun lloc hi és.

Ara, aquesta última que poses, suposar que l'arrel quadrada de -1 * -1 és igual la multiplicació d'arrels quadrades de -1... vaja, que s'ha quedat descansada, eh???!!!

matgala ha dit...

Sí, Myrddin, l'error hi és. Sinó, jo seria el Papa :-) I, com molt bé diu l'escaquejant, l'error a l'1=2 és que es divideix per 0. Recordo que el primer cop que me'l van ensenyar, li vaig ensenyar a un company de classe que aquell dia no hi era. Me'l va tornar al cap de mig minut, dient que l'error era que es dividia per 0. Al cantó de cada equació hi havia posat el que valia l'equació per a=1. Li vaig dir que era trampa, però a vegades va bé per veure-ho.

El de les integrals està clar, és per la constant. I la integral per parts està bé, tot i que és molt fàcil de fer-la immediata: com que la derivada del ln és 1/x, la integral ja és ln(ln(x)).

A on hi ha més problemes és al tercer. De fet, la regla que diu que l'arrel (a*b) = arrel(a)*arrel(b) també funciona amb els complexos. La solució és més fàcil, només que quan surten els complexos ja penses que és una cosa més complicada. El problema està a que l'arrel d'un número és un número que elevat al quadrat dóna el mateix número. I això vol dir que cada número te dues arrels quadrades. Tots tenim preferència pels números positius, però l'arrel de -1 pot ser tant i com -i, ja que (-i)^2 també val -1. I d'aquí ve l'error. L'error no està en separar l'arrel en dues, sinó en dir que l'arrel de -1 és i.

escaquejant ha dit...

Pot ser que sigui un buscaraons... bé, del cert que ho sóc... però...

No crec que sigui incorrecte afirmar que arrel(-1) = i, encara que també puguis afirmar que és -i. Per tant, per mi això no invalida la demostració.

Donant-li una segona volta al problema i tenint en compte el teu comentari, més aviat entenc que les igualtats següents són certes:

1 = arrel(1) és certa
arrel(1) = ... = -1 també és certa

però que això no significa que 1 = -1, ja que
arrel(1) = ±1

Evidentment, en la resposta del post anterior pixava fora de test. Com ara estigui tornant a fer-ho encara creixerà la planta a fora...

Apa

matgala ha dit...

Sí, ja és això: arrel(1) = +-1 (com t'ho fas per posar el símbol?) i arribes a -1=-1.

Tot i que també podries dir que arrel(-1) = +-i i arribaries a que 1=1.

El cas de les arrels és com el dels logaritmes, que quan resols una equació amb arrels (o logaritmes) has de tornar al principi a comprovar que les solucions són realment solucions i que no n'has afegit pel mig quan estaves resolent l'equació. Precisament per això.