dissabte, 4 de juny de 2005

El problema de la setmana - cartes en una circumferència

El problema d'aquesta setmana va ser un regal de B (moltes gràcies, altra vegada!) És un problema senzillet, però bonic. (Canvio una mica el redactat, espero que no t'importi).

En una taula hi ha un conjunt de cartes, de forma que:

- Les cartes estan ficades formant una circumferència.
- Hi ha més de 3 cartes.
- No hi ha dues cartes que tinguin el mateix número.
- La carta que té el número més gran, té un 10.
- La carta que té el número més petit, té un 2.
- Una de les cartes té el número 6.
- Si sumem el valor de 3 cartes consecutives de la circumferència, el resultat que obtenim varia com a molt d'una unitat (o sigui, que si sumem 3 cartes consecutives i ens dóna 18, per exemple, qualsevol altre grup de 3 cartes consecutives que agafem, la seva suma ha de ser 17, 18 o 19. En cas de que sigui 17 per algun grup de 3 cartes seguides, els dos únics valors que s'accepten a la suma són 17 i 18, ja que el 19 estaria a dues unitats de les cartes que sumen 17).

Si sabem que la circumferència de cartes compleix aquestes condicions, quantes cartes hi ha? Quines són aquestes cartes? En quin ordre estan col.locades?

Observació: Si el problema té 3 solucions (llevat de rotacions i simetries), només donaré per vàlida la resposta que dongui les 3 solucions.

Setmana anterior

Setmana següent

2 comentaris:

escaquejant ha dit...

A veure: de l'enunciat es deriva que en qualsevol seqüència de cartes a b c d, a i d o són iguals, o difereixen en un. Iguals no poden ser, ja que aleshores es repetirien cartes. I per a que difereixin en un, les posicions 1era, 4a, 7a... haurien d'anar incrementant o decrementant una unitat cada vegada, sense poder canviar el creixement per decreixement ni la inversa, doncs repetiríem número.
Però com que les cartes es disposen circularment, la seqüència acabarà tornant a la 1era carta i haurà de complir que la última posició de la sèrie només difereixi en un de la primera. Evidentment, això només es pot complir si la seqüència és 1era, 4a i tornem a la 1era...

Del rotllo anterior deduim que hi ha d'haver forçosament 6 cartes, distribuides en parelles que difereixen només en 1. Com que hi ha els números 2, 6, 10, que disten en més d'1, i a més el 2 és el mínim i el 10 el màxim, obtenim les següents parelles de proximitat 1:
- parella petita: 2 i 3
- parella mitjana: 5 i 6, o bé 6 i 7
- parella gran: 9 i 10

Ara bé, fins ara ens hem preocupat que els trios de cartes consecutius no difereixin de més d'un. Però hem d'assegurar també que, en la seqüència a b c d e f, a+b+c i d+e+f, per exemple, també restin com a molt 1.
La única manera d'assegurar això és que en la distribució de les cartes alternem la carta petita i la gran de les parelles. O sigui, que al costat del 2 hi ha d'haver el 10 i el 6 (si també hi ha el 5) o el 7 (en cas contrari).

Comencem pel 2, per a evitar repeticions circulars, en el cas de que la parella del 6 sigui el 5:

Possibilitats:
- petita-mitjana-gran... 2 6 9 3 5 10
o bé
- petita-gran-mitjana... 2 10 5 3 9 6 (que resulta ser la simètrica de l'anterior, per tant no serveix).

Per al cas que la parella del 6 sigui el 7:
- petita-mitjana-gran... 2 7 9 3 6 10
o bé
- petita-gran-mitjana... 2 10 6 3 9 7 (que resulta ser la simètrica de l'anterior, per tant no serveix).

I, per més voltes que li dono, no hi veig més possibilitats.

Així doncs, aconsegueixo dos resultats descomptant rotacions i simetries: 2 6 9 3 5 10 i 2 7 9 3 6 10.
Dues seqüències al sarró, però un punt que vola...

Apa

matgala ha dit...

No, el punt no vola. El problema està bé, i molt ben explicat. A l'enunciat hi posava que "si el problema té 3 solucions", però el problema en té 2, així que dóno per bona la resposta que té 2 solucions. Ara et dono el punt.