dijous, 26 de maig de 2005

La llei de Benford

Imagina que tens poca feina. Molt poca feina. I que un diumenge qualsevol llegeixes un diari d'una punta a l'altra i vas anotant en un paper tots els números que surten (el resultat dels partits, les hores de la cartellera de cine, la gent que va anar a no sé on, ... tots els números). Un cop tens tots els números ben anotats, els separes en 9 columnes: una amb els números que comencen en 1, una altra amb els que comencen en 2, i així fins a una columna pels números que comencen per 9.

Creus que totes les columnes tindran el mateix número de números? Alguna columna serà més nombrosa que les demés?

Un cop has fet això, agafes un atles i busques la llargada de tots els rius que trobis. Quina columna és més nombrosa? Són totes iguals? I si ho fas amb l'alçada de muntanyes? O amb la població dels pobles de Catalunya? O amb qualsevol altra cosa que se't pugui ocórrer?

En principi, el sentit comú ens diria que totes les columnes tindrien aproximadament un 11.11% dels números. Però segons la llei de Benford això no és així. Els números que comencen amb 1 són aproximadament un 30%, els que comencen amb 2 són aproximadament un 17%, els que comencen amb 4, un 12%. El percentatge es va reduint mentre augmenta la xifra per la que comença el número, fins a arribar al 9, que té menys d'un 5% dels números.

A l'enllaç que he posat abans hi ha una demostració del fenomen, utilitzant models estadístics. Si més no, és curiós.

4 comentaris:

omalaled ha dit...

De totes maneres, Matgala, te part de llógica.

S'hauria de diferenciar molt les coses que es compten donat que és normal que hi hagi tendències.

Per exemple, si parles d'alçada de muntanyes més altes de 1000 metres, no hi hurà cap que comenci per 9, unes poques que ho fan amb 8 i la resta es distribueix. Si parles de l'alçada en centímetres de les persones, predominaran les que comencin per 1, etc.

Home, tot es pot ajustar estadísticament, però el problema es donar sentit a les coses.

Apa, salut!!

matgala ha dit...

Sí, ja ho sé que té part de lògica. Tot i que, segons vaig entendre, amb l'exemple de les muntanyes de més de 1000 metres, no s'haurien de distribuir uniformement entre els números que comencen amb les xifres entre 1 i 8. Això és el que més em crida l'atenció. Seria el més lògic, però no és així.

(Bé, això diu el que vaig llegir i jo m'ho he cregut... tampoc tinc ganes de buscar números i provar a veure per quina xifra comencen).

escaquejant ha dit...

La veritat és que m'ha sorprès aquesta llei.
Després de llegir-m'ho, i llegir els vostres comentaris, li veig el sentit de l'existència de cotes superiors en les entitats medides. Només en el cas que aquestes cotes coincidissin amb 10^n-1 deixaria de complir-se, i haurien de ser iguals tots els números. Inclús en aquest cas, caldria veure si totes les medicions poden donar-se amb igual probabilitat (hi ha moltes menys muntanyes "molt altes" que turonets...).
Aleshores, em pregunto: i si mesuréssim entitats no acotades o en les que la distorsió de la cota fos despreciable respecte a les seves magnituds? Estic pensant en la següent llista: distàncies entre qualsevol parella de partícules bàsiques de l'univers (àtoms, per exemple...) mesurades en la unitat que ens doni la gana. Se'm fa llarg construir la llista però... em fa la impressió que aquesta no segueix aquesta llei! Què en penseu?

matgala ha dit...

Buf, no ho sé! Suposo que sempre que hi hagi unitats pel mig es seguirà complint la llei, però en el cas que exposes, doncs no m'ho sé imaginar.