diumenge, 8 de maig de 2005

3816547290

Avui he descobert un blog molt interessant, el blog d'en Markelo. Un dels temes que més m'han agradat ha sigut el de números extraordinaris. Segur que hi torno. M'han agradat especialment les explicacions sobre els números 153 i 6174. Segur que hi torno. I segur que em poso a mirar les raons per les que aquests números són extraordinaris. Però avui, per començar, parlaré d'un altre número (també tret d'aquesta pàgina), el 3816547290.

Què té d'especial aquest nombre? Molt fàcil:

- És un número pandigital (la parauleta vol dir que conté tots els dígits).
- 3 és divisible per 1.
- 38 és divisible per 2.
- 381 és divisible per 3.
- 3816 és divisible per 4.
- 38165 és divisible per 5.
- 381654 és divisible per 6.
- 3816547 és divisible per 7.
- 38165472 és divisible per 8.
- 381654729 és divisible per 9.
- 3816547290 és divisible per 10.
- És l'únic número que compleix aquestes condicions.

Que les compeleix està clar. Anem a veure que realment és l'únic:

- Com que el nombre complet ha de ser divisible per 10, l'últim dígit del número ha de ser un 0: el número serà *********0.

- Com que el número format per les dues primeres xifres ha de ser divisible per 2, el segon dígit ha de ser parell. Com que el número format per les 4 primeres xifres ha de ser divisible per 4, el quart dígit ha de ser parell. De la mateixa forma, el 6è i 8è dígits han de ser parells. L'últim dígit és un 0. Per tant, només queden 4 dígits parells. Així doncs, a les posicions parells hi haurà números parells (p) i a les senars, números senars (s): el número serà spspspsps0.

- Com que el número format amb les 5 primeres xifres ha de ser divisible per 5, la cinquena xifra ha de ser un 5 (el 0 ja està posat, i sabem que ha de ser senar): El número ha de ser spsp5psps0.

- La primera xifra sempre serà divisible per 1, sigui quina sigui. Per tant, no ens preocupem més d'aquesta condició.

- El nombre format per les 9 primeres xifres serà divisible per 9, ja que 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 = 9*5. Per tant, tampoc ens preocupem per aquesta condició.

- Les 3 primeres xifres han de sumar un múltiple de 3.
Les 6 primeres xifres han de sumar un múltiple de 3. Això vol dir que les xifres que estan en les posicions 4, 5 i 6 han de sumar un múltiple de 3.
Les 9 primeres xifres sumen un múltiple de 3. Per tant, les xifres en les posicions 7, 8 i 9 també han de sumar un múltiple de 3.

- Donat que a la posició 5 hi ha d'haver un 5 i que a les posicions 4 i 6 hi ha d'haver números parells, i les 3 han de sumar un múltiple de 3, tenim les següents possibilitats:
- 258
- 456
- 654
- 852

- De la mateixa forma, les 3 primeres i les 3 últimes xifres han de ser un d'aquests números:
(la primera xifra ha de ser senar, la segona xifra ha de ser parell, i la tercera, senar; les 3 xifres han de sumar un múltiple de 3; no hi poden haver xifres repetides; no hi pot haver ni 0 ni 5).
- 123
- 129
- 147
- 183
- 189
- 321
- 327
- 369
- 381
- 387
- 723
- 729
- 741
- 783
- 789
- 921
- 927
- 963
- 981
- 987

- I ara s'han de combinar aquests números. S'han d'escollir dos blocs d'aquests últims pel primer i el tercer i un bloc dels anteriors pel segon. No hi ha d'haver cap número repetit i s'han de complir les condicions que encara falten per complir-se:
- Les 4 primeres xifres han de ser un múltiple de 4 (cond1).
- Les 8 primeres xifres han de ser un múltiple de 8 (cond2).
- Les 7 primeres xifres han de ser un múltiple de 7 (cond3).

- Segon bloc: 258. Els altres dos blocs només poden ser: 147, 369, 741 i 963.
Possibilitats:
- 147 258 369: No es compleix la cond2.
- 147 258 963: No es compleix la cond3.
- 369 258 147: No es compleix la cond2.
- 369 258 741: No es compleix la cond2.
- 741 258 369: No es compleix la cond2.
- 741 258 963: No es compleix la cond3.
- 963 258 147: No es compleix la cond2.
- 963 258 741: No es compleix la cond2.

- Segon bloc: 852. Els altres blocs només poden ser 147, 369, 741 i 963. Amb cap d'aquests blocs com a primer bloc es compleix la cond1, ja que ni 78, ni 98, ni 18, ni 38 són divisibles per 4. Així que aquest bloc també el podem el.liminar.

- Segon bloc: 456. Els altres blocs poden ser: 123, 129, 183, 189, 321, 327, 381, 387, 723, 729, 783, 789, 921, 927, 981, 987.
Perquè les 4 primeres xifres siguin múltiples de 4, el primer bloc ha d'acabar en un nombre parell. I això és impossible. Així que ja hem descartat aquest bloc.

- El número serà de la forma: sps654sps0. Amb això, queda garantida la cond1.

- Perquè es compleixi la cond2, el tercer bloc només pot ser: 321, 327, 723, 729. Així doncs, les possibilitats (a les que només cal comprovar que el número format amb les 7 primeres xifres sigui múltiple de 7) són:
- 789 654 321
- 987 654 321
- 189 654 327
- 981 654 327
- 189 654 723
- 981 654 723
- 183 654 729
- 381 654 729

D'aquests, només l'últim compleix la condició.

Per tant, l'únic número que compleix TOTES les condicions és el 3816547290. Al final, la demostració que era únic m'ha sortit massa llarga. Si algú té alguna idea per una demostració més curta, serà benvinguda.