Estudi d'en Herbstmann

La següent posició correspon a un estudi d'en Herbstmann. Les blanques tenen un peó a f7, a punt de coronar, i un altre a d6, també molt a prop de la coronació. L'estudi diu: juguen blanques i guanyen.



Així que la qüestió no és tan senzilla. Està clar que el blanc no pot coronar directament el peó d'f7, perquè el negre té un peó a a2 que també corona, i a més, ho fa amb escac.

Si el blanc es menja el peó d'a2, aleshores no pot escapar-se de les taules per escac continu: 1. Rxa2 f5 (tancant la sortida del rei) 2. f8=D Ta5+ 3. Rb3 Tb5+ 4. Rc4 Tc5+ 5. Rd4 Td5+



La torre negra té recolzament dels peons per fer escac a a5, b5, c5 i d5, i el rei blanc no pot arribar a la columna e, perquè entre el rei i el peó d'f5 no pot passar.

Tot i així, després d'f5, quan el negre tanca el pas al rei blanc, el blanc segueix tenint el peó a f7, així que pot intentar 1. Rxa2 f5 2. Ta7, per evitar el primer escac a a5. Al cap i a la fi, sembla que el negre no pot arribar a controlar f8.

En aquest cas, però, l'escac continu arriba per una altra banda: 2. ... Te5! 3. f8=D i el negre es dedicarà a fer escacs per la columna e. Les caselles e1, e2 i e3 estan controlades pel rei, mentre que e4 està controlada pel peó d'f5. El rei negre no té on amagar-se, ja que la cinquena fila està controlada pels peons de b6 i c6.



La cosa, doncs, sembla complicada. Hem d'evitar que el peó d'a2 entri, i a més, hem d'evitar l'escac continu. Tornem a la posició inicial:



La solució és 1. Rb2! En cas de que ens juguin 1. ... Tb5, podem jugar 2. Ra1 i s'han acabat els escacs continus, perquè el negre no té temps de posar la torre bé i jugar f5 en una sola jugada.

Per tant, el negre només pot jugar 1. ... a1=D+ 2. Rxa1.

Sembla el mateix que abans, però ara 2. ... f5 no funciona, perquè el blanc pot jugar 3. Ta7 i com que ara el rei blanc està a a1 en comptes d'a2, si el negre intenta 3. ... Te5 per fer escac continu, el blanc pot jugar 4. Ta2+ i el rei ha de deixar de defensar o bé e1 o bé e3, i el rei blanc s'escapa dels escacs, com per exemple en el cas de la següent posició, on el negre menja la torre d'a2, però el blanc no tindrà massa problemes a guanyar.



Així doncs, al negre només li queda l'opció de 2. ... Ta5+ 3. Rb2



I aquest cop 3. ... f5 no serveix per 3. Ta7! Txa7 4. f8=D Ta5 5. d7 i el blanc guanya. Quan el negre faci escac amb la torre a c5, el blanc només haurà de jugar Dxc5, coronant el peó de d7 a la següent jugada.

El negre pot intentar 3. ... Tb5+, però ara li falta el temps de l'f5 que ha jugat abans. La partida podria seguir 4. Rc3 Td5+ 5. Rd5. Si ara es seguís amb els escacs, el blanc s'escaparia per e4. Però, serveix 5. ... f5 per intentar altre cop l'escac continu?



Doncs la resposta és que no. El blanc pot jugar 6. Ta7, per evitar l'escac a a5. Tot i així, ens hem de recordar de la maniobra anterior per evitar l'escac per la columna e: 6. ... Td5+ 7. Rc3 Tc5+ 8. Rb2 Tb5+ 9. Ra1 Te5, i aprofitant que hem portat el rei fins a a1, aleshores 10. Ta2+, guanyant.

El termòmetre de Galileu

L'altre dia em van regalar un termòmetre de Galileu.



Què és aquest termòmetre i com funciona?

El termòmetre és un tub vertical que conté aigua i unes boles de colors, que van etiquetades amb uns números. De les boles que queden a dalt, la més petita indica a quina temperatura estem.

Per funcionar utilitza dos principis físics:

- El primer, el principi d'Arquímedes, que fa que els cossos més densos s'enfonsin a l'aigua i els menys densos surin.

- El segon, un efecte que va descobrir Galileu: la densitat dels líquids varia depenent de la temperatura. Com més calent està el líquid, menys densitat té.

Així, el meu termòmetre, que indica temperatures entre 18 i 28 graus, té 6 boles. Una d'elles té la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus. La segona, la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus, i així anar pujant, de dos en dos, fins arribar a la última, que té una densitat de 29 graus.

Segons la caixa, entre una bola i l'altra, hi ha una diferència de només 0.06 grams!!!

I aleshores, com funciona?

M'imagino que estem a 20 graus. La bola que indica els 18 (que està a la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus) és més densa que l'aigua, i per tant s'enfonsa. La següent bola (la que indica 20 graus, i que està a la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus) és menys densa i per tant sura. Així doncs, a dalt tinc una bola que m'indica que la temperatura és de 20 graus.

Si la temperatura és de 21 graus, la bola que indica 20 té la mateixa densitat que l'aigua. Aleshores, a dalt (el que indica la temperatura) és el que indica 22 graus. Però el que indica 20 graus no està a baix, i per tant la temperatura està entre 20 i 22 graus, o sigui, 21.

Si la temperatura és de 22 graus, la bola del 20 baixa i es queda la del 22 a dalt.

I així, utilitzant dos principis físics, es pot saber la temperatura.

Tria com vols la dama de més

Avui toca una partida de l'any 1994 entre en Karpov i en Korchnoi.



Juguen les negres. El peó blanc d'f6 és molt perillós, està a punt d'entrar, però tot i així en Korchnoi juga 1. ... Ah6. Per què? Doncs perquè té una idea en ment:

2. f7 Axf4.

I ara què?

Doncs ara mateix, el negre ofereix una dama de dues maneres diferents. D'una banda, el blanc pot coronar cavall i, després del doble, menjar-se la dama. De l'altra, el blanc pot coronar dama i quedar-se amb dues dames contra una.



Però, és clar, a ningú se li passa pel cap que en Korchnoi pugui cometre un error així... i si l'hagués comés, no hi hauria post...

En efecte, el blanc no pot coronar cavall i menjar la dama, perquè després de 3. f8=C+ Rh6 4. Cxe6, troba mat després de 4. ... Axe3+ 5. Rh1 Tb1 i no pot evitar Txf1 mat.

A la partida, en Karpov va coronar dama, per quedar-se amb la versió de dama de més de dues dames contra una. La partida va seguir:

3. f8=D Axe3+ 4. Rh1 Ah6 5. Df2 Ag7.

En aquests moments, el negre té torre, àlfil i un peó per la dama. Sembla que la posició hauria d'estar més o menys igualada a material. Però...

El problema del blanc és que les dues dames es fan nosa una a l'altra. Qui no hagi jugat mai amb dues dames, potser no ho entèn, però jo recordo una partida on vaig coronar i vaig acabar jugant un final de dues dames contra dama i torre i va ser complicadet.

En Karpov va seguir jugant, però de seguida la posició li va caure pel seu propi pes.

6. a6 Tf3. El negre, com que té dues dames per atacar, pot anar atacant-les i guanyant temps.

7. De1 Axa6 8. Ae2 Tf7 9. Dc5 c3 10. Dcxc3 Axe2 11. Dxe2 Df6 12. Dc1 Ah6 13. Db1 Df5 14. Rg1 Tc7. I, tot i tenir dues dames, en aquesta posició, les blanques van abandonar.



El blanc no pot evitar Tc1, que deixa el negre amb avantatge decisiu.

Quina forma tenen les monedes de 20 i 50 penics?

Aquesta imatge és d'una moneda de 20 penics:



I aquesta altra, d'una de 50 penics:



Què tenen de particular aquestes dues monedes?

A les imatges està clar que les dues monedes no són cercles. No és que s'hagin "trencat" i que per això tinguin aquesta forma: ja en un principi eren així.

Però una dels avantatges de les monedes circulars és que, en posar-les a les màquines, tots els diàmetres són iguals, i es pot comprovar més fàcilment quines monedes són i si són falses (bé, més o menys).

Aleshores, els anglesos tenen unes monedes que no els serveixen per les màquines o és que són més espavilats que la resta?

Les dues monedes en realitat són heptàgons de Reuleaux. Són part d'una família de figures anomenades polígons de Reuleaux que compleixen que, se'ls miri per on se'ls miri, sempre tenen el mateix diàmetre.

D'aquesta família també són molt coneguts els triangles de Reuleaux, que compleixen que són la figura amb menys àrea que compleix la condició de que mirant des de qualsevol punt tinguin el mateix diàmetre.

Per això s'utilitzen sovint com a tapes per a claveguera.

És clar que una aplicació força friki dels polígons de Reuleaux seria aquesta bici:



A la roda de davant hi ha un pentàgon de Reuleaux i a la de darrere, un triangle. No sé si m'atreviria a portar-la...

¿Qué forma tienen las monedas de 20 y 50 peniques?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al segon Carnaval de matemáticas.

Esta imagen es de una moneda de 20 peniques:



Y esta otra, de una de 50 peniques:



¿Qué tienen de particular estas dos monedas?

En las imágenes se ve claro que las dos monedas no son círculos. No es que se hayan "roto" y que por eso tengan esta forma: ya en un principio eran así.

Pero una de las ventajas de las monedas circulares es que, cuando se ponen en las máquinas, todos los diámetros son iguales, y se puede comprobar fácilmente qué monedas son y si son falsas (bueno, más o menos).

Entonces, ¿los ingleses tienen unas monedas que no les sirven para las máquinas o es que son más espavilados que el resto?

Las dos monedas en realidad son heptágonos de Reuleaux. Forman parte de una família de figuras llamadas polígonos de Reuleaux que cumplen que, se los mire por dónde se los mire, siempre tienen el mismo diámetro.

De esta família también son muy conocidos los triángulos de Reuleaux, que cumplen que son la figura con menos área que cumple la condición de que mirando desde cualquier punto tienen el mismo diámetro.

Por esto se usan bastante como tapas de alcantarilla.

Claro que una aplicación un poco friki de los polígonos de Reuleaux seria esta bici:



En la rueda de delante hay un pentágono de Reuleaux y en la de detrás, un triángulo. No sé si me atrevería a llevarla...

Com guanyar un final de torres amb peó (passat) de més

El següent diagrama pertany a la partida Spassky-Antoshin, de 1965. Les blanques tenen un peó de més, i és un peó passat. Però els finals de torres sempre són complicats...

Si la torre blanca en comptes d'estar davant del peó estigués a darrere, seria més senzill, però així... pot guanyar el final el blanc?



El pla de les blanques consisteix a portar el seu rei al flanc de dama perquè recolzi el peó. Sense patir si pel camí s'ha de deixar un peó dels seus. Al cap i a la fi, el peó que ha de guanyar ha de ser el passat i el negre trigarà molt a fer un peó passat al flanc de rei.

1. Rg2 Td2 2. Rf3 Tc2 3. Tb6 Td2 4. Re3 Tc2 5. b4 Tb2 6. b5 Rf8 7. Tb7 Rg7. Fins aquí el negre s'ha dedicat a perdre temps amb la torre i el rei, perquè és l'únic que pot fer. El blanc, per la seva banda, no té cap manera de progressar, excepte si...



8. Rd4! Txf2 El blanc dóna un dels seus peons per poder portar el rei al seu flanc de dama, i així intentar promocionar el peó de b.

9. Te7 Tb2 10. Rc4 Rf6 11. Te3, defensant el peó de g3 i amenaçant Tb3, deixant la torre per darrere el peó passat. És precisament per aquesta raó que era millor 10. Rc4 que la més "òbvia" Rc5.

Què passaria si ara les negres decidissin avançar amb el rei, menjar-se els peons blancs, i crear un peó passat, a veure qui arriba primer?

Doncs que la cosa continuaria 11. ... Rf5 12. Tb3 Txb3 13. Rxb3 Re6 (el negre no arriba a temps a menjar-se els peons i coronar) 14. Rb4 Rd6



Podria semblar que el negre arriba a atrapar el peó i té possibilitats de taules, però... 15. Ra5 Rc7 16. Ra6 Rb8 17. Rb6 f6 18. Rc6 i el blanc guanyarà.

A la partida, el negre no va canviar torres: 11. ... Rf5 12. Tb3 Tc2+ 13. Rd5 Rg4. Però ara el peó de b és imparable i el blanc guanyarà: 14. b6 Tc8 15. b7 Tb8. I un cop la torre negra està inutilitzada, el blanc tornarà amb el rei al flanc de rei, per ocupar-se dels peons.



16. Re5 f5 17. Rf6 f4 18. gxf4 Rxh4 19. Rxg6 Rg4 20. f5 h4 21. f6 h3 22. f7 h2 23. Tb1 i el blanc guanya.

Per què algunes antenes són parabòliques?

Abans de començar, què és una paràbola?

Doncs una paràbola és una cònica (o sigui, que s'obtè tallant un con i un pla), que es pot definir com el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt F (que anomenarem focus) i una recta d que no contè el punt (que anomenarem directriu).

Però, per què poso aquesta definició i no alguna altra? Doncs perquè necessitaré el focus.

De qualsevol manera, si la distància entre el focus i la directriu és $\frac{1}{2a}$, mitjançant rotacions i translacions, podem col.locar la directriu a $y=-\frac{1}{4a}$ i el focus en el punt $(0,\frac{1}{4a})$. Aquest focus i aquesta directriu ens generen la paràbola $y=ax^2$.

Les paràboles tenen una propietat molt interessant, que és que qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu (en el nostre cas, vertical), quan es reflexi a la paràbola, passarà pel focus. I, de fet, a més de passar pel focus, el raig es tornarà a reflectir a la paràbola i tornarà a sortir perpendicular a la directriu (o sigui, vertical, o el que és el mateix, en la mateixa direcció en la que havia entrat, però en sentit contrari, és clar!)

Per provar aquesta propietat n'hi ha prou en veure que donada la paràbola $y=ax^2$ i un punt de la paràbola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mateix angle amb la tangent al punt que la recta que va del punt al focus. O sigui, mirant el gràfic, s'ha de veure que els angles $\alpha$ i $\beta$ són els mateixos.

(Per simetria, es pot suposar que $b$ és positiu, i també es pot suposar que $b$ és diferent de zero, perquè en el cas que sigui 0, és obvi que passa pel focus).



Però l'angle $\beta$ és el mateix que es forma entre els segments FQ i QP, on Q és el punt on la tangent talla l'eix d'ordenades. Per tant, només cal veure que el triangle FQP és isòsceles.

Com que el pendent de la recta tangent al punt $(b,ab^2)$ és $2ab$, la recta tangent és

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sigui

$$y=2abx-ab^2. $$

Per tant, el punt Q és $(0,-ab^2)$.

El segment FQ té una llargada de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segment FP té una llargada de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, el triangle és isòsceles, els angles són iguals, i tots els raigs que arriben verticals es reflexen i passen pel focus.

De fet, amb això, també podem veure que qualsevol raig que estigui a distància $c$ de l'eix, ha de recórrer la mateixa distància per reflexar-se i arribar al focus.

Aquesta distància és:

La distància fins a arribar a reflexar-se en un punt: $c-ab^2$.

La distància des de la paràbola a l'eix: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Per tant, la distància sempre és $c+\frac{1}{4a}$.

Si, però les paràboles són corbes, no superfícies, i viuen al pla, no a l'espai. Per això, per construir antenes, s'utilitzen paraboloides de revolució, que són les superfícies que s'obtenen fent girar una paràbola d'aquest estil al voltant de l'eix d'ordenades.

Aquests paraboloides tenen la mateixa propietat que les paràboles: qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu, es reflectirà en el paraboloide i passarà pel focus. Per tant, només cal agafar i posar el receptor al focus, on sap que passaran totes les ones. A més, el temps entre que s'emetin i que arribin al focus només dependrà de la distància a l'antena, no al punt on s'han reflectit.

I ja per acabar, aquesta propietat dels paraboloides és la mateixa que fan servir els flaixos de les càmeres, però a l'inversa: emetent una llum des del focus, aquesta es reflectirà en rajos sempre perpendiculars a la direcció que volem, i per qualsevol pla a on "enfoquem" el flaix, la llum hi arribarà sempre al mateix temps.

Por qué algunas antenas son parabólicas?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al segon Carnaval de matemáticas.

Antes de empezar, qué es una parábola?

Pues una parábola es una cónica (o sea, se obtiene de la intersección de un cono y un plano) que se puede definir como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto F (que llamaremos foco) y de una recta d que no contiene el punto (que llamaremos directriz).

Pero, por qué esta definición y no otra? Pues porque necesitaré el foco.

De qualquier modo, si la distancia entre el foco y la directriz es $\frac{1}{2a}$, mediante rotaciones y translaciones, se puede colocar la directriz en $y=-\frac{1}{4a}$ y el foco en el punto $(0,\frac{1}{4a})$. Este foco y esta directriz generan la parábola $y=ax^2$.

Las parábolas tienen una propiedad muy interesante, que es que qualquier rayo que entre perpendicular a la directriz (en nuestro caso, vertical), cuando se refleja en la parábola, pasará por el foco. De hecho, a parte de pasar por el foco, el rayo se volverá a reflejar en la parábola y volverá a salir perpendicular a la directriz (o sea, vertical, o lo que es lo mismo, en la misma dirección en la que había entrado, pero en sentido contrario).

Para probar esta propiedad, es suficiente ver que dada la parábola $y=ax^2$ y un punto de la parábola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mismo ángulo con la tangente en el punto que la recta que va del punto al foco. O sea, mirando el gráfico, se tiene que ver que los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son los mismos.

(Por simetria, se puede suponer que $b$ és positivo, y también se puede suponer que $b$ es distinto de cero, porque en el caso de que sea 0, es obvio que pasa por el foco).



Pero el ángulo $\beta$ es el mismo que se forma entre los segmentos FQ y QP, donde Q es el punto donde la tangente corta el eje de ordenadas. Por tanto, sólo hace falta ver que el triangulo FQP es isosceles.

Como que el pendiente de la recta tangente en el punto $(b,ab^2)$ es $2ab$, la recta tangente es

$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$

o sea

$$y=2abx-ab^2. $$

Por tanto, el punto Q es $(0,-ab^2)$.

El segmento FQ tiene una longitud de $\frac{1}{4a}+ab^2$.

El segmento FP tiene una longitud de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, el triangulo es isosceles, los ángulos son iguales y todos los rayos que llegan verticales se reflejan y pasan por el foco.

De hecho, con esto, también se puede ver que qualquier rayo que esté a distancia $c$ del eje, tiene que recorrer la misma distancia para reflejarse y llegar al foco.

Esta distancia es:

La distancia hasta llegar a reflejarse en un punto: $c-ab^2$.

La distancia desde la parábola al eje: $\frac{1}{4a}+ab^2$.

Por tanto, la distancia siempre es $c+\frac{1}{4a}$.

Si, pero las parábolas son curvas, no superficies, y vivien en el plano, no en el espacio. Por eso, para construir antenas, se utilizan paraboloides de revolución, que son las superficies que se obtienen haciendo girar una parábola de este estilo entorno al eje de ordenadas.

Estos paraboloides tienen la misma propiedad que las parábolas: cualquier rayo que entre perpendicular a la directriz se reflejará en el paraboloide y pasará por el foco. Por tanto, sólo hace falta poner el receptor en el foco, dónde se sabe que pasaran todas las ondas. Es más, el tiempo entre que se emitan y que lleguen al foco sólo dependerá de la distancia a la antena, no del punto dónde se hayan reflejado.

Y ya para finalizar, esta propiedad de los paraboloides es la misma que usan los flashes de las cámeras, pero a la inversa: emitiendo una luz desde el foco, esta se reflejará en rayos siempre perpendiculares a la dirección en que queramos, y para qualquier plano donde "enfoquemos" el flash, la luz llegará siempre al mismo tiempo.

2010 una odissea de neu

És dijous. La nevada va ser el dilluns. I encara estic... cansada? Enfadada? No sé com?

Aquesta és la meva història, que no és res d'excepcional, però... que em quedaré més tranquil.la si l'escric.

La meva no és res més que una altra de les moltes històries que es poden sentir per la radio. Sí, per la radio, perquè aquí fins fa poc no hem tingut res més que radio. I jo encara puc dir que he tingut sort...

Vaig tenir sort el dilluns al matí, perquè jo no tenia classe. I quan a les 8 del matí em van trucar per dir-me que no anés a treballar, perquè ja hi havia neu per aquí i per allà, els vaig fer cas. Els vaig fer cas perquè la previsió del temps va ser dolenta, i van dir que a Girona al migdia deixaria de nevar per sota dels 400 metres. I vaig pensar que molt bé, que si deixava de nevar al migdia ja podria baixar, fer les classes de la tarda, i tornar cap a casa. Vaig tenir sort perquè si hagués baixat, no hagués pogut tornar.

Vaig tenir sort perquè la meva mare, al migdia, es va trobar la carretera plena de neu. Vaig tenir sort perquè uns veïns la van pujar. Bé, perquè al davant va passar un tractor (gràcies a l'ajuntament?) que va treure la neu.

He tingut sort perquè avui som dijous i aquest matí, cap a les 12, ha tornat l'aigua. Des de dilluns sense aigua potable. Però com que hi havia un bon parell de pams de neu, recollíem neu en galledes i servia per tirar al lavabo i per rentar els plats. Ara ja no podré dir que no he rentat mai els plats amb neu...

He tingut sort perquè a casa hi havia piles i durant la tarda-nit de dilluns, quan hi havia gent que sabia que era a la carretera i no es podien comunicar, tenia la radio per "tranquil.litzar-me".

He tingut sort perquè vaig tenir la previsió de carregar el mòbil abans que se n'anés la llum. Quan van marxar la llum i el telèfon fix (i l'aigua, i tot), tenia un telèfon mòbil carregat de bateria fins a dalt. No servia per res, perquè no hi havia xarxa de mòbils, però almenys el tenia carregat.

He tingut sort de poder oferir una casa freda, sense cap més servei que una mica de menjar, una llar de foc i un llit a algú que es va passar mig dia donant volts al cotxe. I he tingut sort perquè a mi els mossos no em van dir que la nacional estava tallada, que agafés l'autopista, i al dir-los que havia sentit per la radio que l'autopista estava tallada em van dir que no i vaig fer un bon tros amb cotxe per no res, quan ja portava 7 o 8 hores a la carretera. Que quan m'ho explicava pensava: "I què collons fan els mossos?"

He tingut sort perquè gràcies a tenir el mòbil carregat, vaig poder aprofitar que els mòbils van funcionar momentàniament a quarts de dues de la matinada, per poder rebre una trucada d'algú que deia que acabava d'arribar a un lloc on estaria sota cobert.

He tingut sort perquè a casa hi ha llar de foc. I la cuina tenia una temperatura d'uns 10 graus amb el foc engegat. I quan hi entraves deies: "Aquí sí que s'hi està bé!!!" Amb mínimes de -10 a fora, i sense calefacció, he passat unes nits divertides. Però he tingut sort de tenir foc.

I, finalment, he tingut sort de que avui a quarts de 3 ha tornat la llum. He tingut sort de que "només" s'ha espatllat l'alarma (la pila, tants dies sense llum, ha dit que prou. Però, ei! Almenys aquest cop no s'ha posat a sonar a mitja nit!). I, a part de l'alarma, a casa només hi havia un congelador ple fins a dalt de menjar que haurà de passar a millor vida. Que total, com que el menjar és barat...

I sembla que finalment hem tornat a la normalitat... Sí? Bé, torna a fer cel de neu. Esperem que aquest cop NO hagi de tenir sort.

Axg5?

Avui, al per equips, m'he trobat amb la següent posició (jo jugava amb blanques):



En jugades anteriors ja havia considerat 1. Axg5, però no em semblava que em quedés millor. Però aquí no he pogut resistir la temptació... i l'he jugat.

El negre no s'ha menjat l'àlfil i en menys de 5 jugades ja hagués hagut d'abandonar, perquè jo entrava per totes bandes.

La pregunta és: si es menja l'àlfil, què passa? Davant de la meva sorpresa, el Fritz NO dóna 1. Axg5. De fet, la dóna com a dolenta! I, al jugar-la jo, s'ho repensa una mica, però no massa.

El meu fritz està tonto? Sóc jo la que no m'hi veig? Se m'escapa alguna cosa?