Reflexió, refracció i optimització

Mirant uns problemes d'optimització, avui m'he trobat una cosa curiosa, que relaciona la reflexió i la refracció de la llum amb problemes d'optimització.

Imaginem-nos, com al dibuix-esquema mal fet que he fet fa una estona (perdoneu l'ombra, és el meu braç aixecat aguantant la càmera...), la llum vol anar d'A a B, però rebotant en el mirall que hi ha a la línia inferior. La llum pot rebotar on vulgui, i pot sortir amb l'angle que vulgui, però ha de complir una condició: ha d'estar el mínim temps possible a viatjar d'A a B.

I, com que la velocitat de la llum és constant, es tracta de minimitzar la distància entre A i B.

No és difícil de veure (els quatre calculets que hi ha al full), que la derivada d'aquesta distància és cos(alpha) - cos(beta), que s'anul.la quan els dos angles són iguals. O sigui, quan la llum es reflecteix en el mirall! També es comprova fàcilment, mirant el signe de la derivada, que aquest punt és realment un mínim.

Així doncs, la reflexió de la llum, a part de complir determinades lleis físiques, també compleix que és la que fa mínim el temps que transcorre un feix de llum que surt d'una posició, rebota al mirall i arriba a una segona posició.



Molt bé, això era la reflexió. Però... què passa amb la refracció?

Doncs amb la refracció passa exactament el mateix! En aquest cas, la llum vol viatjar des d'un punt que està fora de l'aigua a un punt que està sota aigua. I vol fer-ho en el mínim temps possible. Ara no s'ha de minimitzar la distància, sinó el temps, i per això hi entren en joc les velocitats de la llum a l'aigua i a l'aire. I què passa?

Doncs que, de tots els punts on la llum podria passar de l'aire a l'aigua, amb l'angle que volgués, el que minimitza el temps que triga la llum a arribar d'un punt a l'altre és precisament l'angle amb el que es refracta la llum!



Si és que la llum és molt espavilada i ja la sabia, la forma d'anar el més ràpid possible d'un lloc a un altre! :-D