dilluns, 16 de juliol de 2012

El sinus de l'arccosinus

Em poso a fer uns canvis de variables a mà. Vaig fent càlculs. Omplo un full. Dos fulls. I sembla que arribo a una cosa maca...

Maca del tot? M'emociono quan vaig veient que totes les variables auxiliars em van desapareixent i que tot surt en funció dels paràmetres originals (m'estalviaré una feinada de programació, i a més és molt més elegant). Però... ai! Quan ja sóc al final de tot, em surt una expressió de l'estil de

$$ \cos ( \arctan (b/a) )).$$

Ostres, seria tan maco que això fos una cosa més maca!

I em trobo amb què $$ \cos (\arctan (x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Ui... Aquí hi ha unes quantes fórmules que hauria de saber i... per què no les sé? D'on surten?

Em centro en les fàcils i m'emociono...

Quant val $\sin(\arccos(x))$? Molt bé. Tinc un arccos. Per tant, passaré el sin a cos amb la gran amiga de la trigonometria, $\sin^2 (x) + \cos^2(x) = 1$:
$$ \sin(\arccos(x)) =  \sqrt{1-\cos^2(\arccos(x))} = \sqrt{1-x^2}.$$


 Canviant sin per cos surt:


$$ \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}.$$


 Aquí ja m'emociono. No és molt maco que el sin de l'arccos sigui exactament el mateix que el cos de l'arcsin?


 Llavors ataco la tangent de l'arcsin. Prenc $y=\tan (\arcsin(x))$, i calculo $1+y^2$, fent servir la fórmula de sempre. Com per art de màgia, $$1+y^2 = \frac{1}{1-x^2}$$. Oh!!! Ja en tinc una altra:


 $$ \tan (\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. $$


 Oh!!! A cada fórmula em segueixo emocionant! I van caient una darrere l'altra.


 Quan acabo, tinc la impressió que això ja ho hauria d'haver sabut. Però si ho hagués vist en algun lloc, me'n recordaria. Segur. Una cosa tan maca no s'oblida fàcilment.


  

5 comentaris:

Flores ha dit...

Es ben clar que les matemàtiques que ens son ensenyades son practiques però mai ens acaben dexplicar perquè entenguem d'on surt tot. Per exemple pocs saben que "pi" es la relació entre el perímetre d'una circumferencia i el seu radi, la qual es sempre constant. si sabesim el que samaga mes enrera podriem entendre com ho han deduit els grans genis i matematics de tots els temps

Victor (rotiv escaquejant) ha dit...

Jo tinc un métode bastant empíric per a aquests casos, i de moment m'ha funcionat totes les vegades que l'he usat... A veure si te'l puc explicar sense dibuixets...

Dibuixa un triangle rectangle, que tingui un angle alfa = arctan(x). Per la definició de tangent, si suposem que el catet contigu a alfa té el valor 1, aleshores l'oposat té valor x, i per tant l'hipotenusa val sqrt(x^2+1).
Vale, oblidem-nos d'aquest triangle. Dibuixem un altre proporcional, on la hipotenusa valgui 1. Aleshores el catet contigü serà el cos(alfa) i l'oposat és sin(alfa).

Com hem dit que ambdós triangles son proporcionals, podem dir que hipotenusa1/hipotenusa2 = catet_contigu1/catet_contigu2, aleshores: sqrt(x^2+1)/1 = 1/cos(alfa) ... cos(alfa) = cos(arctan(x)) = 1/sqrt(x^2+1)

Espero que se m'entengui :)
Salutacions!!

Mat gala ha dit...

Ostres, no ho havia pensat així! I tant que funciona! Que burra que sóc!

I no diguis que és empíric: de fet és una demostració (sempre pots agafar les unitats de forma que el costat que vulguis valgui 1).

Victor ha dit...

Jejeje, les solucions fàcils son les últimes que arriben a passar... sempre ens hi hem de barallar més del compte
A arrel d'això m'he posat a pensar... Com carai seria si la cosa fos del revés? atan(sin(x)) (o de cos(x)). Té pinta de ser complicat, com a mínim l'amic Wolfram m'espanta amb el seu resultat. A veure si tu hi saps veure els pasos, perquè jo... en fi

Mat gala ha dit...

Ah, però seguint el teu mètode es veu ràpidament que arccos(sin(x))=pi/2-x (Només cal agafar un triangle rectangle amb catets cos(x), sin(x) i hipotenusa 1).

Pel que fa als arctan de sin i cos, m'ho he de pensar una mica més. El maple dóna, per l'arctan(sin(x)) un gràfic que sembla un sin(x), però en el rang [-0.8,0.8]. Per l'arctan(cos(x)) dóna una gràfica semblant al cos(x), en el mateix rang [-0.8,0.8].