Ha arribat a les meves mans el següent problema:
Demostrar que $$a=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}$$ i $$b=\sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $$ són la mateixa quantitat.
El primer que he pensat és: arrel de 3 i arrel de 22? Maple per davant, i veig que són exactament el mateix...
Així que buscant, he trobat unes formuletes molt maques:
$$\sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$
$$ \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$
A més, prenent quadrats a banda i banda es veu molt ràpidament que són verdaderes.
El meu problema és: jo havia començat el problema pensant que el problema es podia fer de forma geomètrica, i segueixo pensant en clau geomètrica. I em dóna la impressió que aquestes formuletes han de tenir alguna explicació geomètrica... però no la sé trobar. Alguna idea?
Per cert, amb la formuleta el problema es resol fàcilment. Prenent a=5 i b=3:
$ \sqrt{10+2\sqrt{3}} = \sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{5-\sqrt{22}}$
Substituint a l'equació, deixant sola l'arrel $ \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $ i elevant al quadrat, ja està.
Però... algú sap d'on ve la fórmula?
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada