dilluns, 9 de juliol de 2012

Arrels i geometria?


 Ha arribat a les meves mans el següent problema:



 Demostrar que $$a=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}$$ i $$b=\sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $$ són la mateixa quantitat.

 El primer que he pensat és: arrel de 3 i arrel de 22? Maple per davant, i veig que són exactament el mateix...

 Així que buscant, he trobat unes formuletes molt maques:
$$\sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$  
$$ \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$

 Xul.les, veritat?


 A més, prenent quadrats a banda i banda es veu molt ràpidament que són verdaderes.


 El meu problema és: jo havia començat el problema pensant que el problema es podia fer de forma geomètrica, i segueixo pensant en clau geomètrica. I em dóna la impressió que aquestes formuletes han de tenir alguna explicació geomètrica... però no la sé trobar. Alguna idea?


 Per cert, amb la formuleta el problema es resol fàcilment. Prenent a=5 i b=3:


 $  \sqrt{10+2\sqrt{3}} = \sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{5-\sqrt{22}}$


 Substituint a l'equació, deixant sola l'arrel $ \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $ i elevant al quadrat, ja està.


 Però... algú sap d'on ve la fórmula?