Juguen blanques i...?

 Les blanques tenen un peó a punt de coronar (que a més corona amb escac). Però les negres també tenen un peó a punt de coronar... i tenen un àlfil.

 Juguen blanques. Quin serà el resultat final de la partida?


Solució del problema anterior:

 El blanc, si vol guanyar, ha d'aconseguir guanyar la dama o fer mat. Pot aprofitar la mala posició de les peces negres per guanyar: 1. Ah2+. Està clar que el negre no pot menjar l'àlfil, perquè seguiria Db8+, guanyant. Així doncs el rei negre s'ha de moure, i no té massa opcions. Si 1. ... Rg5 2. Dg8+, guanyant la dama. Si 1. ... Rf5 2. Df7+, i el negre només pot anar a g4 (com en la variant principal que hi haurà més avall) o perdre la dama anant a e4 (Db7+) o a g5 (Db8+). I si 1. ... Rf3 2. Dc6+, acostant la dama i fent un mat semblant a algun de la variant principal.

 Així doncs només queda 1. ... Rg4 2. Dg6+ Rf3. Si 2. ... Rh3 3. Dh5 mat (i és d'aquells que fa mal!).

3. Dc6+ Rf2 4. Dc5+ Rf3. Aquí a 4. ... Rf1 també segueix un mat ràpid: 5. Dc4+ Rf2 6. De2 mat. Aquest també fa mal!

Però seguint amb 4. ... Rf3, també es guanya: 5. Dd5+ Rf2 6. Dd4+ Rf3 7. Df4 mat. Sí, aquest també fa mal!!!

Juguen blanques i guanyen

 Les blanques tenen una peça de més, però el negre té moltes opcions de fer escac continu. Com s'ho pot fer el blanc per guanyar?



Solució del problema anterior:

Per deixar pas al propi peó, el rei blanc es pot moure a e7 o a g7. Una de les dues opcions guanya. L'altra, només aconsegueix taules.

Anem a mirar primer la que no guanya: 1. Re7 a3 2. f8=D a2 3. Df1+ Rb2 4. De2+ Rb1 5. De1+ Rb2 6. Db4+ Rc2 7. Da3 Ae6, i si el blanc es menja l'àlfil aleshores el negre té una posició teòrica de taules. Si no se'l menja... també.

 La solució, doncs, és anar per l'altra banda: 1. Rg7 a3 2. f8=D a2. On és la diferència? Doncs que ara el blanc pot jugar 3. Da3, guanyant. 3. ... Rb1 (sinó és mat a c1 o c1-c3). 4. Db3+ Ra1 5. Dc2 Af5 6. Dc1+ Ab1 7. Dc3 mat.

El sinus de l'arccosinus

Em poso a fer uns canvis de variables a mà. Vaig fent càlculs. Omplo un full. Dos fulls. I sembla que arribo a una cosa maca...

Maca del tot? M'emociono quan vaig veient que totes les variables auxiliars em van desapareixent i que tot surt en funció dels paràmetres originals (m'estalviaré una feinada de programació, i a més és molt més elegant). Però... ai! Quan ja sóc al final de tot, em surt una expressió de l'estil de

$$ \cos ( \arctan (b/a) )).$$

Ostres, seria tan maco que això fos una cosa més maca!

I em trobo amb què $$ \cos (\arctan (x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Ui... Aquí hi ha unes quantes fórmules que hauria de saber i... per què no les sé? D'on surten?

Em centro en les fàcils i m'emociono...

Quant val $\sin(\arccos(x))$? Molt bé. Tinc un arccos. Per tant, passaré el sin a cos amb la gran amiga de la trigonometria, $\sin^2 (x) + \cos^2(x) = 1$:
$$ \sin(\arccos(x)) =  \sqrt{1-\cos^2(\arccos(x))} = \sqrt{1-x^2}.$$


 Canviant sin per cos surt:


$$ \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}.$$


 Aquí ja m'emociono. No és molt maco que el sin de l'arccos sigui exactament el mateix que el cos de l'arcsin?


 Llavors ataco la tangent de l'arcsin. Prenc $y=\tan (\arcsin(x))$, i calculo $1+y^2$, fent servir la fórmula de sempre. Com per art de màgia, $$1+y^2 = \frac{1}{1-x^2}$$. Oh!!! Ja en tinc una altra:


 $$ \tan (\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. $$


 Oh!!! A cada fórmula em segueixo emocionant! I van caient una darrere l'altra.


 Quan acabo, tinc la impressió que això ja ho hauria d'haver sabut. Però si ho hagués vist en algun lloc, me'n recordaria. Segur. Una cosa tan maca no s'oblida fàcilment.


  

Juguen blanques i guanyen

 Sembla que el blanc coronarà sense problemes. Però cal vigilar, perquè el negre també està prop de coronar... i podrien ser taules. Com pot guanyar el blanc? I com pot el negre aprofitar-se de l'error si el blanc no juga fi?


Solució del problema anterior:

El blanc ha de coronar fent escacs. La idea és no precipitar-se amb 1. f7+ directe (que va ser el que em va portar a les taules, tot i que potser es guanya) sinó avançar el rei, recolzant el peó de f7.

1. Re6. Si 1. ... a1=D 2. f7+ i mat a la següent: o bé 2. ... Rf8 3. g7, o bé 2. ... Rh8 3. f8=D. I si 1. ... Axd4 2. h7+ Rh8 (si Rf8 el mat és directe coronant). 3. g7 Rxh7 4. Rf7, seguit de 5. g8=D+ i 6. Dg6 mat.

Arrels i geometria?

 Ha arribat a les meves mans el següent problema:



 Demostrar que $$a=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}$$ i $$b=\sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $$ són la mateixa quantitat.

 El primer que he pensat és: arrel de 3 i arrel de 22? Maple per davant, i veig que són exactament el mateix...

 Així que buscant, he trobat unes formuletes molt maques:
$$\sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$  
$$ \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$

 Xul.les, veritat?


 A més, prenent quadrats a banda i banda es veu molt ràpidament que són verdaderes.


 El meu problema és: jo havia començat el problema pensant que el problema es podia fer de forma geomètrica, i segueixo pensant en clau geomètrica. I em dóna la impressió que aquestes formuletes han de tenir alguna explicació geomètrica... però no la sé trobar. Alguna idea?


 Per cert, amb la formuleta el problema es resol fàcilment. Prenent a=5 i b=3:


 $  \sqrt{10+2\sqrt{3}} = \sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{5-\sqrt{22}}$


 Substituint a l'equació, deixant sola l'arrel $ \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $ i elevant al quadrat, ja està.


 Però... algú sap d'on ve la fórmula?

Juguen blanques i guanyen

 Aquesta setmana el problema ve d'una partida d'escaquejant. El blanc té 3 peons molt avançats, però el peó negre encara ho està més... i a més té un àlfil!

 Hi ha d'haver alguna cosa, hi ha d'haver alguna cosa... però al final va acabar en taules. Hi havia una manera de guanyar. Com?


Solució del problema anterior:

 Està clar que, per guanyar, les blanques han de defensar el peó de g6.

 No serveix 1. Ta6 per 1. ... Ah4+ 2. Re8 Rg7, seguit d'Af6, i el negre aconsegueix les taules.

 Així que la jugada bona és 1. Tg5! Òbviament el negre no es pot menjar la torre, o el blanc coronaria. Així que no li queda més remei que jugar 1. ... Ah4. Però el blanc té una segona sorpresa: segueix donant la torre amb 2. Re8. Però ara el rei ja està massa proper... 2. ... Axg5 3. Rf7, i guanya.

Juguen blanques i guanyen

 Un problema senzill per no fer cremar les neurones amb aquesta calor... Juguen blanques i guanyen. No és difícil, però cal anar amb compte, perquè una de les dues jugades "naturals" no guanya...



Solució del problema anterior:

Les blanques havien de fer taules. Està clar que el primer que han de fer és coronar i després buscar algun escac continu o algun ofegat: 1. a8=D Tg1+ 2. Rh8 f1=D I ara comencen els escacs: 3. Dd5+ Re7 4. De5+ Rf7 El negre s'intenta escapar dels escacs amb la defensa de dama i torre, però el blanc té la tàctica de l'ofegat... 5. Df5+ Re7 6. De5+ Rd7. Escapar-se per les columnes e-f no funciona. Per tant, el negre intenta escapar-se per l'altra banda. 7. Dd5+ Rc7 8. Dc5+ Rb7 9. Dd5+ Rb6 10. Dd6+ Rb5. Sembla que el rei negre s'acabarà escapant... 11. Dd5+ Rb4 12. Dd4+ Rb3. Està clar que no es pot cobrir, o llavors el blanc menja la torre i són taules clares. 13. Dd3+ Rb2. Altre cop jugant amb l'ofegat! 14. Dd2+ Rb1 15. Dd3+ Rc1 16. Dc3+ Rd1 17. Dd3+ Re1 18. De3+. Després de donar tota la volta pel tauler, el negre s'adona que no es pot escapar de l'escac continu. La única forma d'escapar-se és ofegant el rei blanc o perdent  la torre. Per tant, taules.