Juguen blanques

No, jo no faig vaga. Jo avui vaig a treballar. Però si algú fa vaga i s'avorreix... un petit problema.

A la posició del diagrama, juguen blanques. Poden guanyar? En cas de poder, com?



I si encara algú s'avorreix, han quedat problemes pendents de l'estiu...

Com per exemple, el problema del 10 d'agost.

En el problema del 16 d'agost falta una variant important.

El 17 d'agost hi havia un problema una mica llarg, i falta alguna variant.

En el problema del 24 d'agost, si bé el blanc acaba guanyant, hi ha un mat una mica més ràpid, que no deixa amb un final guanyat, però final al cap i a la fi.

I, finalment, el problema del 29 d'agost.

Intuició

- Vas a decirme que te guías por la psicohistoria?
- No, no voy a mentirte. No he llegado al punto en que la psicohisotira pueda servirme como guía, pero Yugo siempre está hablando de la intuición..., y yo también tengo intuición.
- La intuición! Qué es? Defínela!
- Es muy sencillo. La intuición es un arte, una peculiaridad de la mente humana que le permite obtener la respuesta correcta a partir de datos incompletos o quizá engañosos.
- Y tú has conseguido esa respuesta correcta.
- Sí, la he conseguido - dijo Seldon plenamente convencido.

Hacia la fundación. Isaac Asimov.

Juguen negres

Un de facilet pel diumenge... juguen negres i fan mat en el mínim nombre de jugades possibles. Quin és el camí?

Quant sumen 10 nombres de Fibonacci consecutius?

La successió de Fibonacci té un munt de propietats interessants. Però... si ens proposem sumar una successió de nombres consecutius, ho podem fer sense massa esforç?

Per exemple, podem sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Quant dóna? Doncs dóna 143.

Molt bé, i què té d'especial el nombre 143?

Podem sumar, per exemple, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.

I què té d'especial el 605?

Doncs podem agafar i sumar els nombres $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Fent servir que ens trobem en una successió de Fibonacci, i que per tant $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podem arribar a que la suma val $55f_n+88f_{n+1}$. Ja tenim una propietat del 143 i el 605: tots dos són múltiples d'11.

Però... hi ha més?

Doncs sí, hi ha més. Fent unes miques més de càlculs, es pot veure que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.

Per tant, la suma de 10 nombres de Fibonacci consecutius sempre ens donarà el setè nombre de la sucessió multiplicat per 11.

Per exemple, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.

Font: La proporción áurea, de Mario Livio.

Cuánto suman 10 nombres de Fibonacci consecutivos?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la sisena edició del Carnaval de matemáticas.

La sucesión de Fibonacci tiene un montón de propiedades interesantes. Pero... si queremos sumar una sucesión de números consecutivos, lo podremos hacer sin mucho esfuerzo?

Por ejemplo, podemos sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Cuánto da? Pues da 143.

Muy bien, y qué tiene de especial el número 143?

Podemos sumar, por ejemplo, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.

Y qué tiene de especial el 605?

Pues podemos sumar los números $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Usando que tenemos una sucesión de Fibonacci, y que por lo tanto $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podemos llegar a que la suma vale $55f_n+88f_{n+1}$. Ya tenemos una propiedad del 143 i el 605: ambos son múltiples de 11.

Pero... hay más?

Pues sí, hay más. Calculando un poquito más, se puede ver que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.

Por tanto, la suma de 10 números de Fibonacci consecutivos siempre nos dará el séptimo número de la sucesión multiplicado por 11.

Por ejemplo, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.

Fuente: La proporción áurea, de Mario Livio.

Velocitats estils

Feia molt de temps que tenia pendent el post en què mirava si el meu algorisme per les velocitats dels diferents estils convergia o no...

Malauradament, no hi ha hagut suficient temps perquè:

1. De seguida va venir el juliol i me'n vaig anar de congrés.
   
2. Tornant del congrés, va venir l'agost i no vaig anar a nedar cap dia.
   
3. I tornant de l'agost, me n'he anat a una altra banda, on hi ha una piscina, però està tan rematadament lluny que només vaig a nedar 1 o 2 dies a la setmana... i a sobre la piscina ha introduit una nova variable al problema: a vegades és de 25 metres, i a vegades és de 50!!!
   

He deixat de banda els dies que he nedat aquí, però tot i així hi ha un munt de variables que afecten als càlculs:

• Hi ha dies en què jo vaig més a poc a poc, per la raó que sigui, i llavors l'estil que faig més aquell dia queda penalitzat.
  
• Hi ha dies en què faig sèries. Si són amb temps, el temps de l'estil és sempre constant, tot i que pugui anar més ràpid. I si són, per exemple, descansant 10 segons, amb unes poques sèries ja em carrego un parell de minuts!
  
• Hi ha dies en què el genoll em fa mal i llavors m'he de frenar.
  
• I, és clar, el que em passa sempre: que em descompto!!! I, és clar, no és el mateix fer 2000 metres que fer-ne 2050, quan estic comptant la velocitat!!!
  

Tot i així, com que vull donar una mica de vida al blog després de les vacances d'estiu, escric el post pendent, i així m'animo a tornar :-D De qualsevol manera, jo seguiré guardant les distàncies i els temps que hi dedico, juntament amb altres variables, a veure si algun dia arribo a una bona aproximació...

Per començar, una gràfica que mostra que realment, amb dos mesos, no vaig millorar gaire la meva velocitat... A l'eix de les x hi ha la sessió, i a l'eix de les y la velocitat (en minuts per fer 100 metres), que anant bé hauria d'anar-se fent petita...



Fent servir el primer model (simplement iterant) sembla que les coses van tendint al que toca... o, com a mínim, totes les velocitats van millorant... Però no havíem quedat que la velocitat total no millorava? Mmmm... interessant! Tot i així, es veu una tendència, i, el que sembla més important, sembla que si faig crol vaig més ràpid (sembla que té sentit), després ve esquena, després braça (no m'agrada que al final acabin essent iguals) i després papallona... Bé, això s'haurà de millorar...



I si faig servir el segon model? Bé, hi ha més oscil.lacions, però el resultat sembla bastant semblant... Sembla que vaig bé?



Bé, doncs no ho sé... Perquè després del quart dia vaig decidir de resoldre el sistema per trobar les diferents velocitats... i em van sortir les següents velocitats:

• crol: -2.40 min/100 metres. Coi, sí que sóc ràpida!!!
  
• papallona: 17.94 min/100 metres. Ai... això són més de 4 minuts per piscina!!!
  
• esquena: 10.99 min/100 metres. També és molt gran...
  
• braça: 0.68 min/100 metres. Guanyaria l'or olímpic!!!
  

I si començo amb aquestes velocitats, arribaré tendint allà on toca? Bé, doncs la resposta és que... de moment encara no. Aquí hi ha els dos gràfics amb els altres... com es veu, no acaben tendint del tot, però es veu una mica de tendència a "arreglar-ho"...

Seguiré nedant i apuntant, a veure si arribo a alguna conclusió :-D

¿Cómo podía cualquier número de personas, todas juntas, conocer lo bastante?

A Seldon, todo esto le recordaba una pregunta que le habían planteado de niño: "¿Puede haber una pieza relativamente pequeña de platino, con asas incorporadas, que la fuerza desnuda de un grupo de personas no pueda levantar, por muchas que éstas sean?"

La respuesta era sí. Un metro cúbico de platino pesa 22420 kilos bajo la fuerza normal de gravedad. Si se sabe que cada persona puede levantar 120 kilos del suelo, entences, 188 personas bastarían para levantar el cubo de platino... Pero, 188 personas no se podrían instalar alrededor de él para que cada uno pudeira conseguir asirlo. Quizá no podrían colocarse más de 9 personas. Y las palancas u otros artilugios no estaban autorizados. Tenía que ser la "fuerza desnuda, sin ayudas".

Preludio a la Fundación. Isaac Asimov.