divendres, 24 de setembre de 2010

Cuánto suman 10 nombres de Fibonacci consecutivos?

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la sisena edició del Carnaval de matemáticas.



La sucesión de Fibonacci tiene un montón de propiedades interesantes. Pero... si queremos sumar una sucesión de números consecutivos, lo podremos hacer sin mucho esfuerzo?

Por ejemplo, podemos sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Cuánto da? Pues da 143.

Muy bien, y qué tiene de especial el número 143?

Podemos sumar, por ejemplo, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.

Y qué tiene de especial el 605?

Pues podemos sumar los números $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Usando que tenemos una sucesión de Fibonacci, y que por lo tanto $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podemos llegar a que la suma vale $55f_n+88f_{n+1}$. Ya tenemos una propiedad del 143 i el 605: ambos son múltiples de 11.

Pero... hay más?

Pues sí, hay más. Calculando un poquito más, se puede ver que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.

Por tanto, la suma de 10 números de Fibonacci consecutivos siempre nos dará el séptimo número de la sucesión multiplicado por 11.

Por ejemplo, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.

Fuente: La proporción áurea, de Mario Livio.