La successió de Fibonacci té un munt de propietats interessants. Però... si ens proposem sumar una successió de nombres consecutius, ho podem fer sense massa esforç?
Per exemple, podem sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Quant dóna? Doncs dóna 143.
Molt bé, i què té d'especial el nombre 143?
Podem sumar, per exemple, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.
I què té d'especial el 605?
Doncs podem agafar i sumar els nombres $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Fent servir que ens trobem en una successió de Fibonacci, i que per tant $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podem arribar a que la suma val $55f_n+88f_{n+1}$. Ja tenim una propietat del 143 i el 605: tots dos són múltiples d'11.
Però... hi ha més?
Doncs sí, hi ha més. Fent unes miques més de càlculs, es pot veure que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.
Per tant, la suma de 10 nombres de Fibonacci consecutius sempre ens donarà el setè nombre de la sucessió multiplicat per 11.
Per exemple, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.
Font: La proporción áurea, de Mario Livio.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada