dilluns, 17 de novembre de 2008

Demostració del teorema de Pitàgores usant un trapezi

Hi ha moltes demostracions del teorema de Pitàgores, però aquesta que em vaig trobar l'altre dia per casualitat em va fer molta gràcia, perquè és senzilla i perquè fa servir trapezis.

La idea és partir d'un triangle rectangle, i construir un trapezi, com el de la foto (ja ho sé, no es veu gaire bé, però clicant es veu millor -tot i que una mica desenfocada...-, i no tenia ganes de fer 5 fotos...) Un cop construit el trapezi, es calcula l'àrea de dues maneres diferents: sumant les àrees dels 3 triangles, o calculant l'àrea del trapezi. I... surt el teorema de Pitàgores (com era d'esperar!!!)



Per calcular l'àrea dels triangles, els triangles A i B són iguals, i la seva àrea és ab/2. El tercer triangle també és rectangle, perquè dels tres angles que hi ha a la base, un és un dels angles aguts del triangle original, el segon és l'altre angle agut. I, per tant, entre els dos sumen 90 graus. El tercer angle també ha de ser de 90 graus, i per tant el triangle és rectangle (i l'àrea és catet1*catet2/2 = c^2/2).

Per calcular l'àrea del trapezi, ho faig amb el trapezi rotat 90 graus, que és com em van ensenyar a mi l'àrea del trapezi. Els dos costats són paral.lels, perquè els dos formen un angle de 90 graus amb el que abans era la base. I, gràcies a aquests angles de 90 graus, també tenim l'altura. I, aplicant la formuleta, surt que l'àrea és (a+b)^2/2.

Igualant les dues àrees, surt el teorema de Pitàgores.

2 comentaris:

Escaquejant ha dit...

Sí, la veritat és que el teorema de Pitàgores és dels que dóna gust de demostrar. Senzill, irrefutable, i amb múltiples demostracions imaginatives...

Si els teoremes que s'estudien després aprenguessin d'ell, potser les matemàtiques serien més populars!

matgala ha dit...

Vols dir que la popularitat de les matemàtiques (o la poca popularitat) no ve de més enrere, i no pas dels teoremes de després...?