El problema de la setmana - un nombre racional

Aquesta setmana es tracta de buscar un nombre racional.

Quines restriccions hi ha? Cap, a part de que sigui racional i que la seva expressió decimal sigui periòdica (o sigui, que hi ha algun factor al divisor que no és ni 2, ni 5).

Com es guanya? Del nombre racional, es mira el període de la seva expressió decimal. Es compten quants dígits té el període. Aquests dígits es divideixen pel nombre de divisors del numerador (exceptuant l'1 i el mateix numerador) més el nombre de divisors del denominador (exceptuant l'1 i ell mateix) més 1 (ho he canviat, si el denominador i el numerador eren primers, es dividia per 0... Gràcies, Alasanid!). Guanya el valor més gran.

Per exemple, si dic 6/9 = 0._6_, el resultat seria 1/(2+1) = 1/3.

Repartiré 45 punts d'aquí a un parell de setmanes.

Baralla de nombres!

Final Kortchnoi - Bruzon

Avui mostraré un final de partida entre Viktor Kortchnoi i Lazaro Bruzon, jugat al 2001. Partim de la següent posició, on juguen les blanques:



Taules? Està millor el blanc? Està millor el negre? Bé, de fet dient qui jugava la partida ja he donat una bona pista, però anem a veure com es va jugar aquest final.

El primer pas, consisteix a passar amb el rei, a portar el rei cap al centre, per anar cap a... bé, això ja es veurà més tard.

31. Rg3, buscant entrar per f4. Si 31. ... Re5 32. Cc6, guanyant un peó.

31. ... a5 32. Rf4

El rei ha aconseguit el que volia: arribar a f4. Ara es dirigeix a g5, per entrar pel flanc de rei. No serveix 32. ... f6 per evitar que entri per g5, ja que 33. Cb5+ Re6 34. Cc3 f5 i el rei passa igualment, amb la casella d5 pel cavall.

32. ... Ab7 33. a3 Ad5 34. Rg5



Kortchnoi ha aconseguit el seu primer objectiu, que és entrar amb el rei al flanc de rei contrari. Tot i així, sembla que el rei no podrà passar d'aquí. Però...

34. ... Re5 35. Rh6 Rf6

Sembla que el rei blanc queda atrapat, però el rei blanc segueix el seu camí!

36. Rh7 Ab7 37. Rg8 Re7 38. Rg7 Ad5



El rei blanc ha aconseguit penetrar al flanc de rei contrari, però sembla que no podrà fer res, des d'aquí. Però, un cop en Kortchnoi ja té el rei on volia, segueix una altra fase del pla, que consisteix a avançar els peons del flanc de rei. El seu rei impedeix que el rei negre pugui avançar, perquè ha de defensar el peó d'f7, i de mentres, el blanc pot anar avançant els peons sense problema.

39. f4 exf3 40. gxf3 Aa8 41. e4 Ab7 42. e5 Ad5



I ara, un cop ja ha avançat suficientment els peons del flanc de rei, el rei blanc ja no fa res al flanc de rei. Fins ara el que ha fet ha estat "entretenir" al rei negre a defensar els peons, mentre que el blanc anava avançant. Ara ja no cal entretenir més al rei negre, i per això el blanc torna a centralitzar el seu rei, mentre que a la vegada seguirà avançant els peons del flanc de rei.

Cal fixar-nos també en la posició de cavall i peó blanc: amb el cavall i el peó es tapa el pas del rei negre: el peó controla les caselles f6 i d6, mentre que el cavall controla e6.

43. Rh6 Ab7 44. Rg5 Ad5 45. f4 Ae4 46. f5 gxf5

En aquest cas, si 46. ... Axf5 47. Cxf5+ gxf5 48. Rxf5, amb el final de peons guanyat pel blanc.

47. Rf4 Rd7 48. b4 axb4 49. axb4 Ad3 50. Cxf5 Re6 51. Cg7+ Rd5



Ara sembla que el rei negre entrarà a menjar-se el peó de b i que el blanc intentarà entrar algun peó del flanc de rei. De fet, aquí el blanc ja té la partida guanyada.

52. Cxh5 Rc4 53. Rg5 Rxb4 54. Cf4 Ae4 55. h5 b5 56. e6 desviant el peó per poder tapar la diagonal amb el cavall fxe6 57. Cg6 Ra3 58. h6 b4 59. h7 b3 60. h8=D b2 61. Dc3+ Ra2 62. Dc4+ 1-0

El problema de la setmana - un poema

I aquesta setmana... poesia! Es tracta de trobar un poema (conegut, no inventat, que es pugui trobar, en l'idioma que es vulgui) que tingui el títol molt llarg. Com decideixo si el títol és molt llarg? Doncs compto el nombre de lletres del títol, i les divideixo pel nombre de versos del poema.

Guanya, és clar, el poema que tingui la divisió més gran.

Repartiré 44 punts d'aquí a un parell de setmanes.

How much longer is your program?

Reconec que els comics del Piled Higher & Deeper són del millor que hi ha. Però aquest de la Courtney Gibbons és simplement genial.



Sobretot les tres frases que hi ha a sota.

Worst. Question. Ever.

Demostració del teorema de Pitàgores usant un trapezi

Hi ha moltes demostracions del teorema de Pitàgores, però aquesta que em vaig trobar l'altre dia per casualitat em va fer molta gràcia, perquè és senzilla i perquè fa servir trapezis.

La idea és partir d'un triangle rectangle, i construir un trapezi, com el de la foto (ja ho sé, no es veu gaire bé, però clicant es veu millor -tot i que una mica desenfocada...-, i no tenia ganes de fer 5 fotos...) Un cop construit el trapezi, es calcula l'àrea de dues maneres diferents: sumant les àrees dels 3 triangles, o calculant l'àrea del trapezi. I... surt el teorema de Pitàgores (com era d'esperar!!!)



Per calcular l'àrea dels triangles, els triangles A i B són iguals, i la seva àrea és ab/2. El tercer triangle també és rectangle, perquè dels tres angles que hi ha a la base, un és un dels angles aguts del triangle original, el segon és l'altre angle agut. I, per tant, entre els dos sumen 90 graus. El tercer angle també ha de ser de 90 graus, i per tant el triangle és rectangle (i l'àrea és catet1*catet2/2 = c^2/2).

Per calcular l'àrea del trapezi, ho faig amb el trapezi rotat 90 graus, que és com em van ensenyar a mi l'àrea del trapezi. Els dos costats són paral.lels, perquè els dos formen un angle de 90 graus amb el que abans era la base. I, gràcies a aquests angles de 90 graus, també tenim l'altura. I, aplicant la formuleta, surt que l'àrea és (a+b)^2/2.

Igualant les dues àrees, surt el teorema de Pitàgores.

El problema de la setmana - tornem-hi amb els nombres primers!

Aquesta setmana un altre problema de jugar amb els números. Es tracta d'obtenir un nombre primer, fent servir només nombres primers, amb algunes restriccions:

- Hi ha d'haver com a mínim una multiplicació i una divisió (n'hi poden haver més)
- La resta d'operacions, només poden ser sumes i restes.
- Es poden posar tants parèntesis com es vulguin.
- No es pot repetir cap número primer (però el nombre obtingut no compta).

Guanyarà la proposta que aconsegueixi que la mitjana aritmètica de tots els nombres primers utilitzats per fer les operacions sigui mínima.

Per exemple, (7+3)*5/(41-31) = 5. I la mitjana, (7+3+5+41+31)/5 = 17.4

Repartiré 43 punts d'aquí a un parell de setmanes.

El problema de la setmana - amb totes les vocals

Avui a les estadístiques m'he trobat algú que buscava per paraules "amb totes les vocals". Així que, aquesta setmana, es tracta de trobar una paraula que tingui totes les vocals.

Guanyarà la paraula més curta, i a igualtat de lletres, la paraula que estigui més enrere en el diccionari.

42 punts, d'aquí a dues setmanes.

Pures o aplicades?

Tal como las caricaturizan los matemáticos aplicados, las matemáticas puras son un sinsentido intelectual abstracto en una torre de marfil sin ninguna repercusión práctica. Las matemáticas aplicadas, responden los matemáticos puros intransigentes, son intelectualmente descuidadas, carentes de rigor y sustituyen la comprensión por la acumulación de números.

Ian Stewart.
Cartas a una joven matemática.

El problema de la setmana - amb tantes lletres com el valor

D'acord, amb el problema de fa dues setmanes em vau guanyar ben guanyada. I ara torno amb un problema similar... a veure si em podeu tornar a guanyar!

Es tracta d'escriure un número, el més gran que pogueu, que compleixi que el nombre de lletres per expressar el número sigui igual que el valor del número.

Per exemple, U seria vàlid. Dos ja no, perquè té 3 dígits, i no 2. Però també seria correcte "Vuit més dos" (10 lletres, el nombre 10).

Repartiré 41 punts d'aquí a un parell de setmanes.