dilluns, 4 de juliol de 2011

Mosques a canonades...

M'agraden els problemes de MAA MinuteMath. A vegades són molt fàcils, però n'hi ha que fan pensar, com el que va sortir fa uns dies:

Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:



Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.

El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.

La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)

La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és

$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.

La del segon,

$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,

i la del tercer,

$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.

La del gran és:

$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.

I anar fent...

Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...



Un triangle rectangle. I ja està!

$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.

Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...