Processing math: 100%

dilluns, 18 d’octubre del 2010

1/89 i la successió de Fibonacci

Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:

0.0112359550561798.

Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.

Intentem calcular quant valdria la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sigui, si F_n és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.

Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?

La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:

F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n),

que per simplificar l'escric usant el nombre d'or \phi:

F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).

El que volem calcular, en aquest cas, és:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.

Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:

S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.

Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.

El primer sumatori dóna

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.

No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},

substituir pel valor de \phi i racionalitzar.

De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.

Restant els dos sumatoris, s'obtè

\frac{10\sqrt{5}}{89},

que multiplicat per \sqrt{5}/50 ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!



Font: La proporción áurea. Mario Livio.