1/89 i la successió de Fibonacci

Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:

0.0112359550561798.

Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.

Intentem calcular quant valdria la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?

La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

El que volem calcular, en aquest cas, és:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.

El primer sumatori dóna

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.

De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restant els dos sumatoris, s'obtè

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!



Font: La proporción áurea. Mario Livio.