El falcó i l'espiral logarítmica

A la espiral logarítmica también se la conoce por el nombre de espiral equiangular. El nombre "equiangular" refleja otra propiedad única de la espiral logarítmica. Si se traza una línea recta desde el polo hacia cualquier punto de la curva, ésta queda cortada exactamente en el mismo ángulo. Los halcones utilizan esta propiedad para atacar a sus presas.

(...)

Tucker descubrió mediante experimentos en túneles de aire que un bamboleo de la cabeza de estas características reduciría considerablemente su velocidad. Los resultados de su investigación, que se publicaron en noviembre de 2000 en el Journal of Experimental Biology, demuestran que los halcones mantienen la cabeza recta mientras trazan una espiral logarítmica. Dadas las propiedades equiangulares de la espiral, dicha trayectoria les permite controlar visualmente a sus presas al tiempo que maximizan la velocidad.

Mario Livio. La proporción áurea.

6 anyets!!!

Encara recordo el dia, que, asseguda a casa, vaig decidir començar aquest blog. I d'això ja en fa... 6 anys! I aquest cop, com fa 6 anys, el 26 d'octubre torna a ser dimarts!

Durant aquests anys el blog ha anat canviant. Però crec que sempre ha tingut el caràcter que tenia al principi: hi ha coses que m'agraden, que m'agradaria compartir, i les poso aquí, perquè les miri qui vulgui :-D (més que res, per no anar molestant a la gent que m'envolta amb coses que normalment no els interessen...)

Ara ja no faig concursos de problemes, com al principi. De fet, el blog ha anat mutant a... a què?

• Quan trobo alguna cosa interessant, l'agafo, l'escric (normalment el cap de setmana), i la poso a publicar el dilluns.
  
• Si el que trobo és una cosa curta, com un tros de llibre, un enllaç, etc, que no em costa gaire temps d'escriure, ho faig entre setmana i la poso a publicar el divendres.
  
• I si el que trobo és un problema més o menys senzill d'escacs, el poso a publicar el proper diumenge o dia de festa.
  

No sempre hi ha coses a publicar, però a vegades en trobo més tres per setmana, i llavors s'autopubliquen una setmana més tard :-D

Amb això, porto publicats:

• 575 posts en aquest blog (gairebé surto a 2 per setmana! Pensava que serien menys!!!)
  
• 167 posts en el blog de llibres (de veritat he escrit tant sobre llibres?????????)
  
• i no sé quants posts en el blog 64caselles, que qui compartia amb mi els va esborrar tots :-(
  

No és gaire, però seguiré llegint, i per tant, trobant coses interessants, i per tant... publicant per aquí allò que em sembla interessant a mi...

Filotaxis

Esta descripción muestra que el enigma de 2300 años de antigüedad acerca de los orígenes de la filotaxis puede resumirse con la siguiente pregunta básica: ¿por qué están separadas por un Ángullo Áureo de 137.5 grados las hojas sucesivas?

(...)

Es fácil de entender. Si el ángulo divergente fuera de, por ejemplo, 120º (es decir, 360/3) o cualquier otro múltiplo racional de 360 grados, entonces las hojas se alinearían radialmente (a lo largo de tres líneas en el caso de 120 grados), dejando grandes espacios entre sí. Por otro lado, un ángulo divergente como el Ángulo Áureo (que es un múltiplo irracional de 360 grados) asegura que los brotes no se alineen a lo largo de ninguna dirección radial específica, rellenando los espacios de forma eficiente. El Ángulo Áureo demuestra ser incluso mejor que otros múltiplos irracionales de 360 grados porque la Proporción Áurea es igual a una fracción continua compuesta enteramente por unos. Esta fracción continua converge de modo más lento que ninguna otra fracción continua. En otras palabras, la Proporción Áurea es el número irracional más difícilmente expresable en forma de fracción.

Mario Livio. La proporción áurea.

20 10 20 10 20 10...

I més dates maques: avui és 20-10-2010. I són les 20:10. :-D

1/89 y la sucesión de Fibonacci

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la setena edició del Carnaval de matemáticas.

Coge una calculadora y calcula cuánto vale 1/89:

0.0112359550561798.

Los primeros números parecen seguir la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Pero después la cosa parece que se estropea... o no.

Intentemos calcular cuánto valdría la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sea, si $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci, queremos calcular cuánto vale
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Este número nos dará 1/89. Por qué?

La fórmula general de la sucesión de Fibonacci es bien conocida:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que para simplificar la escribo usando el número de oro $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

En este caso, lo que queremos calcular es:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podemos usar la fórmula general y agrupar los términos:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Pero estos términos son sumas geométricas, que sabemos sumar.

El primer sumatorio da

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

Para obtener el resultado, no hace falta hacer cálculos complicados. Simplemente sumar la progresión

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

sustituir por el valor de $\phi$ y racionalitzar.

De la misma forma, el segundo sumatorio da:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restando los dos sumatorios, se obtiene

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicado por $\sqrt{5}/50$ nos da el número 1/89!!!



Funte: La proporción áurea. Mario Livio.

1/89 i la successió de Fibonacci

Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:

0.0112359550561798.

Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.

Intentem calcular quant valdria la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?

La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

El que volem calcular, en aquest cas, és:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.

El primer sumatori dóna

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.

De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restant els dos sumatoris, s'obtè

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!



Font: La proporción áurea. Mario Livio.

Juguen blanques

Aquest és un problema d'aquells que, un cop l'has vist, et quedes meravellat per la solució.

Juguen blanques i... guanyen! I sí, el negre està a punt de coronar (o sigui, el blanc és a baix i el negre a dalt).



Una pista (que no sé si ajuda o no...): a la variant més maca, a la penúltima jugada el blanc mou el rei, el negre no té més remei que coronar... i el blanc guanya fent un mat... amb dos cavalls!!!

The year of confusion

To bring the calendar back in alignment with the vernal equinox, which was supposed to occur by tradition on 25 March, Caesar also ordered two extra intercalary months added to 46 BC - consisting of 33 and 34 days inserted between November and December. Combined with an intercalary month already installed in February, the entire year of 46 BC ended up stretching an extraordinary 445 days. Caesar called it the "ultimus annus confusionis", "the last year of confusion". Everyone else called it simply "the Year of Confusion".

David Ewing Duncan. The Calendar.

101010

101010 = 42.

Juguen blanques

Avui que és un dia maco (10/10/10), un problema també maco.



En aquesta posició, malgrat el que pugui semblar, juguen blanques... i guanyen!

Stonehenge

Egyptians were not alone in their early turning to the sun. Far beyond the great Nile valley and even the Mediterranean, on the distant edge of the Eurasian continent, a little-understood people also figured out a close approximation of the solar year a few centuries after the Egyptians. We know this only because they left behind what appears to be an enormous calendar constructed out of immense slabs of bluestone, standing upright to form megaliths, some of them topped by lintels called henges. Standing on the barren Salisbury plain, this structure, Stonhenge, was used for over two thousand years by ancient Britons, who aligned the stones so that at the precise moment of the summer solstice a ray of sun shines down the main avenue and into its centre. But what was this for? Is Stonhenge truly an enormous calendar? Or is it an observatory, a fortress, a temple, a Bronze Age place of assembly - or all of the above?

No one knows for sure, though the layout leaves no doubt that the people who built it were astronomically sophisticated enough to buiild a device to accurately measure the solar year. Further evidence comes from stones erected in patterns around Stonehenge that align with the sun at both solstices and at the equinoxes, and with the moon as it runs through its orbit around the earth. This giant calendar would have allowed an ancient Briton to anticipate astronomic cycles and events as accurately as the Egyptians watching Sirius - or, for that matter, a modern astronomer using solar and star charts. Some have claimed that Stonehenge can also foretell eclipses of the moon, which occur regularly after those months when the full moon rises precisely down the main avenue.

David Ewing Duncan. The Calendar.

Una torre atrapada?

En la següent posició, és el torn de les blanques. Tenen una torre a setena, parella d'àlfils, però... la posició del negre sembla molt sòlida, i no sembla possible que es pugui guanyar ràpid, excepte potser si...



1. g6. Òbviament, s'ha de fer alguna cosa amb aquest peó... Està clar que si 1. ... fxg6 2. Txg7+ guanya. Si 1. ... f6 2. h4, que seguirà h5, i el blanc té un joc molt bo. I si 1. ... Ae8 2. gxf7+ Axf7 3. Ah5!

Per tant, al negre només li queda la solució d'intentar atrapar la torre... 1. ... Cxg6 2. Txd7 Ch4+ 3. Rg3 Cxf3 4. Rxf3 Rf8.



La torre està tancada, no? Com pot treure el blanc la torre de la setena fila, sense que s'acosti el rei negre?

Si ara 5. Axf7, el negre pot jugar 5. ... Rxg7 i no tindrà massa problemes en el final... Però el blanc pot jugar 5. h4!, jugant amb el peó passat. 5. ... Re8 (està clar que el negre no pot jugar 5. ... g6 per 6. Af6!)

Però ara ja ningú pot aturar el peó d'h: 6. Axg7 Rxd7 7. h5 i el negre no té solució. Per exemple, 7. ... Ta8 8. h6 Txa3+ 9. Rg4 f5+ 10. Rxf5 Th3 11. Rg6 c6 12. h8 Txh7 13. Rxh7 cxd5 14. Ad4 i el blanc acaba guanyant.

Juguen blanques

Un problemet senzill pel diumenge. Juguen blanques.