dimecres, 20 d’octubre del 2010
1/89 y la sucesión de Fibonacci
Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la setena edició del Carnaval de matemáticas.
Coge una calculadora y calcula cuánto vale 1/89:
0.0112359550561798.
Los primeros números parecen seguir la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Pero después la cosa parece que se estropea... o no.
Intentemos calcular cuánto valdría la suma:
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
O sea, si $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci, queremos calcular cuánto vale
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$
Este número nos dará 1/89. Por qué?
La fórmula general de la sucesión de Fibonacci es bien conocida:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$
que para simplificar la escribo usando el número de oro $\phi$:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$
En este caso, lo que queremos calcular es:
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$
Podemos usar la fórmula general y agrupar los términos:
$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$
Pero estos términos son sumas geométricas, que sabemos sumar.
El primer sumatorio da
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$
Para obtener el resultado, no hace falta hacer cálculos complicados. Simplemente sumar la progresión
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$
sustituir por el valor de $\phi$ y racionalitzar.
De la misma forma, el segundo sumatorio da:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$
Restando los dos sumatorios, se obtiene
$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$
que multiplicado por $\sqrt{5}/50$ nos da el número 1/89!!!
Funte: La proporción áurea. Mario Livio.
dilluns, 18 d’octubre del 2010
1/89 i la successió de Fibonacci
Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:
0.0112359550561798.
Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.
Intentem calcular quant valdria la suma:
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$
Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?
La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$
que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$
El que volem calcular, en aquest cas, és:
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$
Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:
$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$
Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.
El primer sumatori dóna
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$
No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$
substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.
De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$
Restant els dos sumatoris, s'obtè
$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$
que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!
Font: La proporción áurea. Mario Livio.
0.0112359550561798.
Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.
Intentem calcular quant valdria la suma:
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$
Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?
La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$
que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$
El que volem calcular, en aquest cas, és:
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$
Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:
$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$
Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.
El primer sumatori dóna
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$
No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$
substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.
De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$
Restant els dos sumatoris, s'obtè
$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$
que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!
Font: La proporción áurea. Mario Livio.
diumenge, 17 d’octubre del 2010
Juguen blanques
Aquest és un problema d'aquells que, un cop l'has vist, et quedes meravellat per la solució.
Juguen blanques i... guanyen! I sí, el negre està a punt de coronar (o sigui, el blanc és a baix i el negre a dalt).
Una pista (que no sé si ajuda o no...): a la variant més maca, a la penúltima jugada el blanc mou el rei, el negre no té més remei que coronar... i el blanc guanya fent un mat... amb dos cavalls!!!
Juguen blanques i... guanyen! I sí, el negre està a punt de coronar (o sigui, el blanc és a baix i el negre a dalt).
Una pista (que no sé si ajuda o no...): a la variant més maca, a la penúltima jugada el blanc mou el rei, el negre no té més remei que coronar... i el blanc guanya fent un mat... amb dos cavalls!!!
divendres, 15 d’octubre del 2010
The year of confusion
To bring the calendar back in alignment with the vernal equinox, which was supposed to occur by tradition on 25 March, Caesar also ordered two extra intercalary months added to 46 BC - consisting of 33 and 34 days inserted between November and December. Combined with an intercalary month already installed in February, the entire year of 46 BC ended up stretching an extraordinary 445 days. Caesar called it the "ultimus annus confusionis", "the last year of confusion". Everyone else called it simply "the Year of Confusion".
David Ewing Duncan. The Calendar.
diumenge, 10 d’octubre del 2010
Juguen blanques
Avui que és un dia maco (10/10/10), un problema també maco.
En aquesta posició, malgrat el que pugui semblar, juguen blanques... i guanyen!
En aquesta posició, malgrat el que pugui semblar, juguen blanques... i guanyen!
divendres, 8 d’octubre del 2010
Stonehenge
Egyptians were not alone in their early turning to the sun. Far beyond the great Nile valley and even the Mediterranean, on the distant edge of the Eurasian continent, a little-understood people also figured out a close approximation of the solar year a few centuries after the Egyptians. We know this only because they left behind what appears to be an enormous calendar constructed out of immense slabs of bluestone, standing upright to form megaliths, some of them topped by lintels called henges. Standing on the barren Salisbury plain, this structure, Stonhenge, was used for over two thousand years by ancient Britons, who aligned the stones so that at the precise moment of the summer solstice a ray of sun shines down the main avenue and into its centre. But what was this for? Is Stonhenge truly an enormous calendar? Or is it an observatory, a fortress, a temple, a Bronze Age place of assembly - or all of the above?
No one knows for sure, though the layout leaves no doubt that the people who built it were astronomically sophisticated enough to buiild a device to accurately measure the solar year. Further evidence comes from stones erected in patterns around Stonehenge that align with the sun at both solstices and at the equinoxes, and with the moon as it runs through its orbit around the earth. This giant calendar would have allowed an ancient Briton to anticipate astronomic cycles and events as accurately as the Egyptians watching Sirius - or, for that matter, a modern astronomer using solar and star charts. Some have claimed that Stonehenge can also foretell eclipses of the moon, which occur regularly after those months when the full moon rises precisely down the main avenue.
David Ewing Duncan. The Calendar.
dilluns, 4 d’octubre del 2010
Una torre atrapada?
En la següent posició, és el torn de les blanques. Tenen una torre a setena, parella d'àlfils, però... la posició del negre sembla molt sòlida, i no sembla possible que es pugui guanyar ràpid, excepte potser si...
1. g6. Òbviament, s'ha de fer alguna cosa amb aquest peó... Està clar que si 1. ... fxg6 2. Txg7+ guanya. Si 1. ... f6 2. h4, que seguirà h5, i el blanc té un joc molt bo. I si 1. ... Ae8 2. gxf7+ Axf7 3. Ah5!
Per tant, al negre només li queda la solució d'intentar atrapar la torre... 1. ... Cxg6 2. Txd7 Ch4+ 3. Rg3 Cxf3 4. Rxf3 Rf8.
La torre està tancada, no? Com pot treure el blanc la torre de la setena fila, sense que s'acosti el rei negre?
Si ara 5. Axf7, el negre pot jugar 5. ... Rxg7 i no tindrà massa problemes en el final... Però el blanc pot jugar 5. h4!, jugant amb el peó passat. 5. ... Re8 (està clar que el negre no pot jugar 5. ... g6 per 6. Af6!)
Però ara ja ningú pot aturar el peó d'h: 6. Axg7 Rxd7 7. h5 i el negre no té solució. Per exemple, 7. ... Ta8 8. h6 Txa3+ 9. Rg4 f5+ 10. Rxf5 Th3 11. Rg6 c6 12. h8 Txh7 13. Rxh7 cxd5 14. Ad4 i el blanc acaba guanyant.
1. g6. Òbviament, s'ha de fer alguna cosa amb aquest peó... Està clar que si 1. ... fxg6 2. Txg7+ guanya. Si 1. ... f6 2. h4, que seguirà h5, i el blanc té un joc molt bo. I si 1. ... Ae8 2. gxf7+ Axf7 3. Ah5!
Per tant, al negre només li queda la solució d'intentar atrapar la torre... 1. ... Cxg6 2. Txd7 Ch4+ 3. Rg3 Cxf3 4. Rxf3 Rf8.
La torre està tancada, no? Com pot treure el blanc la torre de la setena fila, sense que s'acosti el rei negre?
Si ara 5. Axf7, el negre pot jugar 5. ... Rxg7 i no tindrà massa problemes en el final... Però el blanc pot jugar 5. h4!, jugant amb el peó passat. 5. ... Re8 (està clar que el negre no pot jugar 5. ... g6 per 6. Af6!)
Però ara ja ningú pot aturar el peó d'h: 6. Axg7 Rxd7 7. h5 i el negre no té solució. Per exemple, 7. ... Ta8 8. h6 Txa3+ 9. Rg4 f5+ 10. Rxf5 Th3 11. Rg6 c6 12. h8 Txh7 13. Rxh7 cxd5 14. Ad4 i el blanc acaba guanyant.
diumenge, 3 d’octubre del 2010
Subscriure's a:
Missatges (Atom)