Suposem que f_n són els nombres de Fibonacci: f_1=1, f_2=1, f_3=2, f_4=3, f_5=5, ...
Donat un nombre natural k qualsevol, construim els següents nombres:
A = f_k f_{k+3},
B = 2 f_{k+1} f_{k+2}, i
C = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2.
Podem veure que A^2+B^2=C^2. No és difícil, però portarà un parell de línies de càlculs :-D Per veure-ho, calcularé A^2+B^2-C^2 i veuré que és 0:
A^2 + B^2 - C^2 =
f_k^2 f_{k+3}^2 + 2 f_{k+1}^2 f_{k+2}^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 =
f_k^2 (f_{k+1} + f_{k+2})^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 + 2 f_{k+1}^2 (f_k+f_{k+1})^2 =
f_k^2 f_{k+1}^2 + f_k^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 - f_{k+1}^4 -(f_k^4 + f_{k+1}^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2) + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 +2 f_{k+1}^4,
on tots els termes s'anul.len, i per tant és 0.
Així doncs, podem agafar k=1 i obtenim A=3, B= 4, C=5, potser la més famosa de les ternes pitagòriques. Fixem-nos que C=5, que precisament és un nombre de Fibonacci (f_5).
Podem agafar k=2 i obtenim A=5, B=12, C=13, una altra terna pitagòrica famosa. En aquest cas, 13 és f_7.
Per k=3, A=16, B=30 i C=34. 34 és f_9.
De fet, es pot veure que passa sempre. Fent servir una propietat dels nombres de Fibonacci que diu que:
f_{2n+k} = f_k f_{n+1}^2 + 2 f_{k-1} f_{n+1} f_n + f_{k-2} f_n^2,
podem comprovar que, efectivament,
f_{2k+3} = f_3 f_{k+1}^2 + 2 f_{2} f_{k+1} f_k + f_{1} f_k^2 =
2 f_{k+1}^2 + 2 f_{k+1} f_k + f_k^2 =
f_{k+1}^2 + (f_k+f_{k+1})^2 = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2 = C.
Idea: Mario Livio, La proporción áurea.
4 comentaris:
És molt bo aquest bloc, segueix així =D
Gràcies!
Aquest dibuix... hem compartit habitació en algun campionat?
jejeje... sí! =D
NK
:-D
Fa molt que no sé res de tu. Tot bé?
Jugaràs el femení aquest any? Jo no... seré a Escòcia, fent companyia a en Nessi :-D
Publica un comentari a l'entrada