Com aconseguir ternes pitagòries a partir dels nombres de Fibonacci?

Suposem que $f_n$ són els nombres de Fibonacci: $f_1=1$, $f_2$=1, $f_3=2$, $f_4=3$, $f_5=5$, ...

Donat un nombre natural $k$ qualsevol, construim els següents nombres:

$A = f_k f_{k+3},$
$B = 2 f_{k+1} f_{k+2},$ i
$C = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2.$

Podem veure que $A^2+B^2=C^2$. No és difícil, però portarà un parell de línies de càlculs :-D Per veure-ho, calcularé $A^2+B^2-C^2$ i veuré que és 0:

$A^2 + B^2 - C^2 = $
$f_k^2 f_{k+3}^2 + 2 f_{k+1}^2 f_{k+2}^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 = $
$f_k^2 (f_{k+1} + f_{k+2})^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 + 2 f_{k+1}^2 (f_k+f_{k+1})^2 =$
$f_k^2 f_{k+1}^2 + f_k^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 - f_{k+1}^4 -(f_k^4 + f_{k+1}^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2) + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 +2 f_{k+1}^4,$

on tots els termes s'anul.len, i per tant és 0.

Així doncs, podem agafar k=1 i obtenim A=3, B= 4, C=5, potser la més famosa de les ternes pitagòriques. Fixem-nos que C=5, que precisament és un nombre de Fibonacci ($f_5$).

Podem agafar $k=2$ i obtenim $A=5$, $B=12$, $C=13$, una altra terna pitagòrica famosa. En aquest cas, 13 és $f_7$.

Per $k=3$, $A=16$, $B=30$ i $C=34$. 34 és $f_9$.

De fet, es pot veure que passa sempre. Fent servir una propietat dels nombres de Fibonacci que diu que:

$f_{2n+k} = f_k f_{n+1}^2 + 2 f_{k-1} f_{n+1} f_n + f_{k-2} f_n^2,$

podem comprovar que, efectivament,

$f_{2k+3} = f_3 f_{k+1}^2 + 2 f_{2} f_{k+1} f_k + f_{1} f_k^2 = $
$2 f_{k+1}^2 + 2 f_{k+1} f_k + f_k^2 =$
$f_{k+1}^2 + (f_k+f_{k+1})^2 = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2 = C.$

Idea: Mario Livio, La proporción áurea.