divendres, 24 de juliol de 2009

3=0?

Comencem amb una pregunta senzilla: donada l'equació x^2+x+1=0, si x és una solució d'aquesta equació, quan val x^3?

És clar, és clar. És una equació de segon grau, es pot resoldre. Surten complexos. S'eleva el complex al cub i...

No hi ha cap manera de resoldre el problema d'una forma més senzilla o que comporti menys càlculs?

I si multipliquem l'equació del principi per x?

x^3+x^2+x=0.

I ara es pot sumar 1 a les dues bandes de l'equació:

x^3+x^2+x+1=1.

Però... si x és una solució, x^2+x+1=0, i per tant:

x^3 = 1.

Ja està. Problema resolt. I sense fer gairebé càlculs.

Però... si x^3=1, aleshores, x=1.

Substituint a l'equació del principi, 1+1+1=0. O sigui 3=0.

On és l'error? :-D

2 comentaris:

Alasanid ha dit...

A veure, em sembla que ho he vist però aquest tipus de coses no se'm donen massa bé i encara menys escriure-les.

A l'equació de segon grau hi ha dues solucions complexes x=s1 i x=s2. Al multiplicar per x als dos costats s'hi afegeix la solució x=0.

Al substituir x per s1 (o s2) ens queda: s1^3=1 que satisfà l'equació x^3=1 (que té 3 solucions, dues de complexes que són s1 i s2) . Per altra banda, no totes les solucions de l'equació x^3=1 satisfan la condició anterior x^2+x+1=0 com és el cas de x=1. Per tant, per x=1 NO s'arriba a l'equació x^3=1; NO és solució de l'equació de tercer grau que es pretén resoldre.

Espero que se m'entengui i que realment vagi per aquí la cosa...

matgala ha dit...

Doncs sí, és això. Quan es multiplica per x s'afegeix una nova solució (el polinomi de grau 2 té 2 solucions, i el de grau 3, en té 3).

I també, pel fet de que si x és solució, aleshores x^3=1, no vol dir que si x^3=1, aleshores x sigui solució :-D