dissabte, 5 de juliol de 2008

El problema de les bales de canó

Comencem amb un problema senzill. Hem de guardar unes quantes bales de canó de la mateixa mida, i ho fem apilant-les les unes sobre les altres, de forma que a cada pis hi hagi un quadrat de bales, i a mida que anem pujant, cada cop el quadrat es vagi reduint, perquè posem les bales en els forats que queden entre cada quatre bales del pis inferior. Es tracta de trobar quantes bales hi ha en una piràmide de bales, on el quadrat de la base està format per n bales.

Aquest problema, que té fàcil solució, va ser proposat per Sir Walter Raleigh al seu assistent matemàtic, Thomas Harriot, que va trobar la solució sense massa problemes: 1/6 n(1 + n)(1 + 2n).

La pregunta, una mica més complicada, és: quin és el mínim valor que ha de tenir n perquè les bales de canó es puguin posar en un quadrat? O sigui, quin és el mínim valor de n que fa que 1/6 n(1 + n)(1 + 2n) sigui un quadrat perfecte? La solució es pot trobar per internet buscant pel problema de les bales de canó, i és n= 24, que dóna 4900 bales de canó (que aviat està dit).

Però la pregunta no queda aquí. Aquest és un problema relativament fàcil de resoldre, més que res perquè algun dia s'hi arriba. La pregunta és, a partir d'n=24 hi ha algun altre nombre que ho compleixi? I si és així, quin?

El problema és equivalent a trobar un nombre pel que 1+2^2+3^2+4^2+...+n^2 sigui un quadrat perfecte. Existeix? A part del 24, és clar!

La solució va ser demostrada per en Watson, 1918: la única solució és per n=24.