Em poso a fer uns canvis de variables a mà. Vaig fent càlculs. Omplo un full. Dos fulls. I sembla que arribo a una cosa maca...
Maca del tot? M'emociono quan vaig veient que totes les variables auxiliars em van desapareixent i que tot surt en funció dels paràmetres originals (m'estalviaré una feinada de programació, i a més és molt més elegant). Però... ai! Quan ja sóc al final de tot, em surt una expressió de l'estil de
$$ \cos ( \arctan (b/a) )).$$
Ostres, seria tan maco que això fos una cosa més maca!
I em trobo amb què $$ \cos (\arctan (x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$
Ui... Aquí hi ha unes quantes fórmules que hauria de saber i... per què no les sé? D'on surten?
Em centro en les fàcils i m'emociono...
Quant val $\sin(\arccos(x))$? Molt bé. Tinc un arccos. Per tant, passaré el sin a cos amb la gran amiga de la trigonometria, $\sin^2 (x) + \cos^2(x) = 1$:
$$ \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-\cos^2(\arccos(x))} = \sqrt{1-x^2}.$$
Canviant sin per cos surt:
$$ \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}.$$
Aquí ja m'emociono. No és molt maco que el sin de l'arccos sigui exactament el mateix que el cos de l'arcsin?
Llavors ataco la tangent de l'arcsin. Prenc $y=\tan (\arcsin(x))$, i calculo $1+y^2$, fent servir la fórmula de sempre. Com per art de màgia, $$1+y^2 = \frac{1}{1-x^2}$$. Oh!!! Ja en tinc una altra:
$$ \tan (\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. $$
Oh!!! A cada fórmula em segueixo emocionant! I van caient una darrere l'altra.
Quan acabo, tinc la impressió que això ja ho hauria d'haver sabut. Però si ho hagués vist en algun lloc, me'n recordaria. Segur. Una cosa tan maca no s'oblida fàcilment.
Es mostren els missatges amb l'etiqueta de comentaris matemàtics. Mostrar tots els missatges
Es mostren els missatges amb l'etiqueta de comentaris matemàtics. Mostrar tots els missatges
dilluns, 16 de juliol del 2012
dilluns, 9 de juliol del 2012
Arrels i geometria?
Ha arribat a les meves mans el següent problema:
Demostrar que $$a=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}$$ i $$b=\sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $$ són la mateixa quantitat.
El primer que he pensat és: arrel de 3 i arrel de 22? Maple per davant, i veig que són exactament el mateix...
Així que buscant, he trobat unes formuletes molt maques:
$$\sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$
$$ \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$
A més, prenent quadrats a banda i banda es veu molt ràpidament que són verdaderes.
El meu problema és: jo havia començat el problema pensant que el problema es podia fer de forma geomètrica, i segueixo pensant en clau geomètrica. I em dóna la impressió que aquestes formuletes han de tenir alguna explicació geomètrica... però no la sé trobar. Alguna idea?
Per cert, amb la formuleta el problema es resol fàcilment. Prenent a=5 i b=3:
$ \sqrt{10+2\sqrt{3}} = \sqrt{5+\sqrt{22}} + \sqrt{5-\sqrt{22}}$
Substituint a l'equació, deixant sola l'arrel $ \sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}} $ i elevant al quadrat, ja està.
Però... algú sap d'on ve la fórmula?
dilluns, 24 d’octubre del 2011
El problema de les maletes (o com empaquetar usant el nombre mínim de maletes)
Els que algun cop hem agafat un vol de Ryanair (o similar), sabem que és molt important dividir l'equipatge en el mínim nombre de maletes (i que no passi d'un cert pes, o podem pagar una pasta!)
En general, al fer la maleta, el més raonable és anar posant primer les coses "grans", i llavors les petites hi entren com per art de màgia...
Un teorema diu que, si tenim unes quantes coses, amb uns determinats pesos, i cada maleta pot tenir un màxim de pes, l'estratègia d'ordenar tot el que hem de posar dintre les maletes de més pesat a menys, i anar omplint les maletes, des de la primera fins que ens hi càpiga tot, com a molt és un 22% pitjor que l'estratègia òptima (que suposaria provar totes les possibilitats, que per un conjunt de coses mitjà, com ara 20, és impossible de fer en un temps raonable...).
Però aquesta estratègia pot tenir contradiccions, o coses que no s'entenen.
Imaginem-nos que hem d'omplir maletes, que poden pesar un màxim de 524 Kg. Hem d'omplir-les amb 33 coses, que pesen: 442, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 127, 127, 127, 127, 127, 106, 106, 106, 106, 85, 84, 46, 37, 37, 12, 12 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9.
Anem omplint maletes, començant pel 442:
Maleta 1: 442 (falten 82)
Els següents 7 bultos, de 252 pesos, no es poden posar a la primera maleta. Però sí que es poden posar en parelles de 2 bultos per maleta. Per tant, hem d'omplir 4 maletes més:
Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252 (272)
Seguim posant pesos. Els 5 de 127 només cabran a partir de la cinquena maleta:
Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127 (143)
Anem a posar ara els pesos de 106:
Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106 (206)
Col.loquem els 85, 84, 46, 37 i 37 per ordre, i sempre a la primera maleta on hi caben:
Maleta 1: 442, 46 (36)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)
Tres bultos de 12 Kg:
Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)
Sis bultos de 10 Kg:
Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 3: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 4: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)
I per últim, els dos bultos de 9 Kg:
Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 3: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 4: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 5: 252, 127, 127, 9, 9 (0)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)
Sembla que ens n'hem sortit bastant bé, veritat? 7 maletes, i totes al límit de pes!
Però, just abans de fer els paquets amb les maletes, ens adonem que no necessitem el bulto de 46 Kg. Així que tornem a fer el mateix, però prescindint del bulto de 46 Kg.
Un cop havíem posat els pesos de 106 teníem la següent distribució:
Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106 (206)
Ara només hem d'acabar d'omplir amb: 85, 84, 37, 37, 12, 12 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9. Comencem amb els 85, 84, 37, 37:
Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84 (37)
Ara anem per les de 12:
Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252, 12 (8)
Maleta 3: 252, 252, 12 (8)
Maleta 4: 252, 252, 12 (8)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84 (37)
Les de 10...:
Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252, 12 (8)
Maleta 3: 252, 252, 12 (8)
Maleta 4: 252, 252, 12 (8)
Maleta 5: 252, 127, 127, 10 (8)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 10, 10, 10 (7)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 10, 10 (17)
I ara ens falten dos bultos de 9 Kg. Però quin desastre! A les 5 primeres maletes només tenim lloc per 8 Kg. A la sisena, per 7. I a la setena, només hi podem posar un dels dos bultos de 9 Kg que tenim.
Per tant... necessitem una vuitena maleta, que anirà només amb un bulto de 9 Kg!!!
O sigui: si afegim el bulto de 46 Kg, necessitem 7 maletes, i si el traiem... en necessitem 8!
dilluns, 4 de juliol del 2011
Mosques a canonades...
M'agraden els problemes de MAA MinuteMath. A vegades són molt fàcils, però n'hi ha que fan pensar, com el que va sortir fa uns dies:
Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:
Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.
El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.
La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)
La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és
$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.
La del segon,
$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,
i la del tercer,
$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.
La del gran és:
$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.
I anar fent...
Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...
Un triangle rectangle. I ja està!
$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.
Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...
Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:
Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.
El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.
La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)
La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és
$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.
La del segon,
$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,
i la del tercer,
$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.
La del gran és:
$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.
I anar fent...
Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...
Un triangle rectangle. I ja està!
$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.
Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...
dilluns, 27 de juny del 2011
Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?
Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.
Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.
Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?
Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?
Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?
Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que
$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$
el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.
Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?
Doncs precisament la hipèrbola!
Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.
Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.
Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?
Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?
Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?
Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que
$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$
el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.
Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?
Doncs precisament la hipèrbola!
Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.
dilluns, 15 de novembre del 2010
Matrius amb tres 0, tres 1 i tres 2 que tinguin rang màxim
En els comentaris del post del dia 20 d'octubre, en Gerard em deixava aquest problema:
El problema em sembla interessant, però és clar, no en sé la solució... i estic una mica oxidada (que fa molt que no resolc problemes d'aquest estil, vaja!)
Tot i així, com que suposo que en Gerard sap la solució (o sap com trobar-la!) i segurament algú més que es passi per aquí pot trobar-la millor, jo poso la meva proposta... i ja em direu on és l'error (si és que n'hi ha, que suposo que sí, perquè jo em pensava que n'hi hauria menys...)
En un principi, les compto totes. Trobar-les totes seria equivalent a ordenar els tres 0, els tres 1 i els tres 2. Per tant,
$$\frac{9!}{3!3!3!} = 1680. $$
D'aquestes 1680, quines seran de rang màxim?
Calculo quines no tenen rang 3, que em sembla més senzill. En principi, he trobat 3 tipus de matrius que no tinguin rang 3:
Així que anem-los a comptar:
Matrius que tenen 3 zeros en alguna fila o columna:
Si una matriu té 3 zeros en una fila (columna) qualsevol, em queden per fixar els tres 1 i els tres 2, que els posaré en 6 posicions. Per tant, fixant la fila/columna de zeros, tinc en total
$$\frac{6!}{3!3!} = 20 $$ possibilitats.
Com que els zeros poden estar en 3 files o 3 columnes, en total tinc 120 matrius que no tenen rang màxim perquè tenen tota una fila/columna de zeros.
Matrius que tenen dues files (columnes) iguals
En aquest cas, com que dues files (o columnes) han de ser iguals, totes les files (o columnes) han de tenir un 0, un 1 i un 2. Això vol dir que en total tindré 6 casos: 012,021,102,120,210,201.
Fixades les dues files i els nombres que hi ha d'haver a cada fila, només em queden 6 possibilitats més per posar el 0, l'1 i el 2 que em queden. Per tant, en tindré 36 casos (fixant quina fila i columna vull que es repeteixin).
Però... les matrius que tenen les 3 files (columnes) iguals les estic comptant 3 cops! I, a part, ja les havia comptat quan mirava les matrius que tinguessin tota una fila/columna de zeros.
Així doncs, com que tinc 3 maneres diferents de trobar les dues files que vull que siguin iguals, tindré:
3*36-6 = 102, si m'ho miro per files, i 102 si m'ho miro per columnes, en total 204 matrius.
Matrius amb una fila el doble que l'altra:
Serien els casos on tinc una fila amb 110 (o permutació) i una altra amb 220 (o permutació, que sigui la mateixa, és clar!!!)
Puc escollir 3 casos per files (i 3 per columnes), i 110 el puc posar amb 3 ordres diferents.
Altre cop he de restar els casos en què em surti una fila/columna de 0...
En total, torno a tenir 6 possibilitats pels casos que em queden "lliures", però com que ara les files no són iguals (no és el mateix que la primera fila sigui 110 i la segona 220 que al revés), per cada cas de fila/ordre en tindré 12.
Per tant, d'aquest tipus en tinc 12*3*6 = 216.
D'aquí hi he de treure les que tinguin una fila/columna de zeros (que ja les he comptat abans), que serien 2*2*3*6 = 72.
Per tant, d'aquí me'n queden 144.
D'acord, a dalt hi ha tot el rotllo, i el resultat?
Doncs si no m'he equivocat (cosa que seria molt normal, i com que està tan mal explicat no crec que ningú sigui capaç de trobar l'error... però si hi ha una manera més senzilla de calcular-ho estaré contenta de saber-ho...), el total de matrius seria:
Total de matrius: 1680
Matrius amb 000: 120
Matrius amb 2 files/col iguals i no 000: 204
Matrius amb una fila/col el doble d'una altra i no 000: 288
Total de matrius amb rang 3: 1068.
I aquí el meu problema... segons els meus càlculs són el 63.57% de totes les matrius... i jo hagués dit que n'hi hauria moltes menys.
Així doncs: és correcte? On és l'error?
I, ja que hi som, quantes matrius que facin servir tres cops cadascun dels números {0,1,2} tenen rang màxim? :)
El problema em sembla interessant, però és clar, no en sé la solució... i estic una mica oxidada (que fa molt que no resolc problemes d'aquest estil, vaja!)
Tot i així, com que suposo que en Gerard sap la solució (o sap com trobar-la!) i segurament algú més que es passi per aquí pot trobar-la millor, jo poso la meva proposta... i ja em direu on és l'error (si és que n'hi ha, que suposo que sí, perquè jo em pensava que n'hi hauria menys...)
En un principi, les compto totes. Trobar-les totes seria equivalent a ordenar els tres 0, els tres 1 i els tres 2. Per tant,
$$\frac{9!}{3!3!3!} = 1680. $$
D'aquestes 1680, quines seran de rang màxim?
Calculo quines no tenen rang 3, que em sembla més senzill. En principi, he trobat 3 tipus de matrius que no tinguin rang 3:
- Les matrius que tenen 3 zeros en alguna fila o columna
- Les matrius que tenen dues files (o columnes) iguals
- Les matrius en les que una fila (columna) és el doble d'una altra fila (columna).
Així que anem-los a comptar:
Matrius que tenen 3 zeros en alguna fila o columna:
Si una matriu té 3 zeros en una fila (columna) qualsevol, em queden per fixar els tres 1 i els tres 2, que els posaré en 6 posicions. Per tant, fixant la fila/columna de zeros, tinc en total
$$\frac{6!}{3!3!} = 20 $$ possibilitats.
Com que els zeros poden estar en 3 files o 3 columnes, en total tinc 120 matrius que no tenen rang màxim perquè tenen tota una fila/columna de zeros.
Matrius que tenen dues files (columnes) iguals
En aquest cas, com que dues files (o columnes) han de ser iguals, totes les files (o columnes) han de tenir un 0, un 1 i un 2. Això vol dir que en total tindré 6 casos: 012,021,102,120,210,201.
Fixades les dues files i els nombres que hi ha d'haver a cada fila, només em queden 6 possibilitats més per posar el 0, l'1 i el 2 que em queden. Per tant, en tindré 36 casos (fixant quina fila i columna vull que es repeteixin).
Però... les matrius que tenen les 3 files (columnes) iguals les estic comptant 3 cops! I, a part, ja les havia comptat quan mirava les matrius que tinguessin tota una fila/columna de zeros.
Així doncs, com que tinc 3 maneres diferents de trobar les dues files que vull que siguin iguals, tindré:
3*36-6 = 102, si m'ho miro per files, i 102 si m'ho miro per columnes, en total 204 matrius.
Matrius amb una fila el doble que l'altra:
Serien els casos on tinc una fila amb 110 (o permutació) i una altra amb 220 (o permutació, que sigui la mateixa, és clar!!!)
Puc escollir 3 casos per files (i 3 per columnes), i 110 el puc posar amb 3 ordres diferents.
Altre cop he de restar els casos en què em surti una fila/columna de 0...
En total, torno a tenir 6 possibilitats pels casos que em queden "lliures", però com que ara les files no són iguals (no és el mateix que la primera fila sigui 110 i la segona 220 que al revés), per cada cas de fila/ordre en tindré 12.
Per tant, d'aquest tipus en tinc 12*3*6 = 216.
D'aquí hi he de treure les que tinguin una fila/columna de zeros (que ja les he comptat abans), que serien 2*2*3*6 = 72.
Per tant, d'aquí me'n queden 144.
D'acord, a dalt hi ha tot el rotllo, i el resultat?
Doncs si no m'he equivocat (cosa que seria molt normal, i com que està tan mal explicat no crec que ningú sigui capaç de trobar l'error... però si hi ha una manera més senzilla de calcular-ho estaré contenta de saber-ho...), el total de matrius seria:
Total de matrius: 1680
Matrius amb 000: 120
Matrius amb 2 files/col iguals i no 000: 204
Matrius amb una fila/col el doble d'una altra i no 000: 288
Total de matrius amb rang 3: 1068.
I aquí el meu problema... segons els meus càlculs són el 63.57% de totes les matrius... i jo hagués dit que n'hi hauria moltes menys.
Així doncs: és correcte? On és l'error?
dilluns, 8 de novembre del 2010
Com aconseguir ternes pitagòries a partir dels nombres de Fibonacci?
Suposem que $f_n$ són els nombres de Fibonacci: $f_1=1$, $f_2$=1, $f_3=2$, $f_4=3$, $f_5=5$, ...
Donat un nombre natural $k$ qualsevol, construim els següents nombres:
$A = f_k f_{k+3},$
$B = 2 f_{k+1} f_{k+2},$ i
$C = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2.$
Podem veure que $A^2+B^2=C^2$. No és difícil, però portarà un parell de línies de càlculs :-D Per veure-ho, calcularé $A^2+B^2-C^2$ i veuré que és 0:
$A^2 + B^2 - C^2 = $
$f_k^2 f_{k+3}^2 + 2 f_{k+1}^2 f_{k+2}^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 = $
$f_k^2 (f_{k+1} + f_{k+2})^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 + 2 f_{k+1}^2 (f_k+f_{k+1})^2 =$
$f_k^2 f_{k+1}^2 + f_k^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 - f_{k+1}^4 -(f_k^4 + f_{k+1}^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2) + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 +2 f_{k+1}^4,$
on tots els termes s'anul.len, i per tant és 0.
Així doncs, podem agafar k=1 i obtenim A=3, B= 4, C=5, potser la més famosa de les ternes pitagòriques. Fixem-nos que C=5, que precisament és un nombre de Fibonacci ($f_5$).
Podem agafar $k=2$ i obtenim $A=5$, $B=12$, $C=13$, una altra terna pitagòrica famosa. En aquest cas, 13 és $f_7$.
Per $k=3$, $A=16$, $B=30$ i $C=34$. 34 és $f_9$.
De fet, es pot veure que passa sempre. Fent servir una propietat dels nombres de Fibonacci que diu que:
$f_{2n+k} = f_k f_{n+1}^2 + 2 f_{k-1} f_{n+1} f_n + f_{k-2} f_n^2,$
podem comprovar que, efectivament,
$f_{2k+3} = f_3 f_{k+1}^2 + 2 f_{2} f_{k+1} f_k + f_{1} f_k^2 = $
$2 f_{k+1}^2 + 2 f_{k+1} f_k + f_k^2 =$
$f_{k+1}^2 + (f_k+f_{k+1})^2 = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2 = C.$
Idea: Mario Livio, La proporción áurea.
Donat un nombre natural $k$ qualsevol, construim els següents nombres:
$A = f_k f_{k+3},$
$B = 2 f_{k+1} f_{k+2},$ i
$C = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2.$
Podem veure que $A^2+B^2=C^2$. No és difícil, però portarà un parell de línies de càlculs :-D Per veure-ho, calcularé $A^2+B^2-C^2$ i veuré que és 0:
$A^2 + B^2 - C^2 = $
$f_k^2 f_{k+3}^2 + 2 f_{k+1}^2 f_{k+2}^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 = $
$f_k^2 (f_{k+1} + f_{k+2})^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 + 2 f_{k+1}^2 (f_k+f_{k+1})^2 =$
$f_k^2 f_{k+1}^2 + f_k^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 - f_{k+1}^4 -(f_k^4 + f_{k+1}^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2) + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 +2 f_{k+1}^4,$
on tots els termes s'anul.len, i per tant és 0.
Així doncs, podem agafar k=1 i obtenim A=3, B= 4, C=5, potser la més famosa de les ternes pitagòriques. Fixem-nos que C=5, que precisament és un nombre de Fibonacci ($f_5$).
Podem agafar $k=2$ i obtenim $A=5$, $B=12$, $C=13$, una altra terna pitagòrica famosa. En aquest cas, 13 és $f_7$.
Per $k=3$, $A=16$, $B=30$ i $C=34$. 34 és $f_9$.
De fet, es pot veure que passa sempre. Fent servir una propietat dels nombres de Fibonacci que diu que:
$f_{2n+k} = f_k f_{n+1}^2 + 2 f_{k-1} f_{n+1} f_n + f_{k-2} f_n^2,$
podem comprovar que, efectivament,
$f_{2k+3} = f_3 f_{k+1}^2 + 2 f_{2} f_{k+1} f_k + f_{1} f_k^2 = $
$2 f_{k+1}^2 + 2 f_{k+1} f_k + f_k^2 =$
$f_{k+1}^2 + (f_k+f_{k+1})^2 = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2 = C.$
Idea: Mario Livio, La proporción áurea.
dilluns, 18 d’octubre del 2010
1/89 i la successió de Fibonacci
Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:
0.0112359550561798.
Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.
Intentem calcular quant valdria la suma:
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$
Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?
La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$
que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$
El que volem calcular, en aquest cas, és:
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$
Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:
$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$
Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.
El primer sumatori dóna
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$
No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$
substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.
De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$
Restant els dos sumatoris, s'obtè
$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$
que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!
Font: La proporción áurea. Mario Livio.
0.0112359550561798.
Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.
Intentem calcular quant valdria la suma:
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$
Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?
La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$
que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:
$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$
El que volem calcular, en aquest cas, és:
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$
Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:
$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$
Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.
El primer sumatori dóna
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$
No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$
substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.
De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$
Restant els dos sumatoris, s'obtè
$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$
que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!
Font: La proporción áurea. Mario Livio.
divendres, 24 de setembre del 2010
Quant sumen 10 nombres de Fibonacci consecutius?
La successió de Fibonacci té un munt de propietats interessants. Però... si ens proposem sumar una successió de nombres consecutius, ho podem fer sense massa esforç?
Per exemple, podem sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Quant dóna? Doncs dóna 143.
Molt bé, i què té d'especial el nombre 143?
Podem sumar, per exemple, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.
I què té d'especial el 605?
Doncs podem agafar i sumar els nombres $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Fent servir que ens trobem en una successió de Fibonacci, i que per tant $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podem arribar a que la suma val $55f_n+88f_{n+1}$. Ja tenim una propietat del 143 i el 605: tots dos són múltiples d'11.
Però... hi ha més?
Doncs sí, hi ha més. Fent unes miques més de càlculs, es pot veure que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.
Per tant, la suma de 10 nombres de Fibonacci consecutius sempre ens donarà el setè nombre de la sucessió multiplicat per 11.
Per exemple, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.
Font: La proporción áurea, de Mario Livio.
Per exemple, podem sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Quant dóna? Doncs dóna 143.
Molt bé, i què té d'especial el nombre 143?
Podem sumar, per exemple, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.
I què té d'especial el 605?
Doncs podem agafar i sumar els nombres $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Fent servir que ens trobem en una successió de Fibonacci, i que per tant $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podem arribar a que la suma val $55f_n+88f_{n+1}$. Ja tenim una propietat del 143 i el 605: tots dos són múltiples d'11.
Però... hi ha més?
Doncs sí, hi ha més. Fent unes miques més de càlculs, es pot veure que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.
Per tant, la suma de 10 nombres de Fibonacci consecutius sempre ens donarà el setè nombre de la sucessió multiplicat per 11.
Per exemple, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.
Font: La proporción áurea, de Mario Livio.
dilluns, 14 de juny del 2010
e: the Story of a Number
Com que aquest post no sé si va aquí o a l'altre blog, el publico a tots dos llocs.
El llibre és una petita joia que ens porta per tota la història del nombre e. Bé, de fet, i l'únic retret que tinc al llibre, és que no només ens porta la història del nombre e, sinó que també parla molt de $\pi$, fins al punt que, en molts capítols, em preguntava si era un llibre sobre e o era un llibre sobre $\pi$ (que ja vindrà!).
És un d'aquells llibres que m'agrada llegir a poc a poc, i que per això em duren molt de temps. Però sóc incapaç de retenir massa informació en un sol dia (o en una sola setmana), així que mica en mica, vaig llegint.
El llibre em va agradar tant i hi havia tantes coses interessants, que en vaig fer dos posts (tot i que podrien haver estat una pila més!). El primer de tot sobre Napier i sobre el fet que Napier va ser un segle anterior a la definició del nombre e, però tot i així va fer unes taules de logaritmes que gairebé eren en base 1/e. I el segon, unes sèries on apareix el nombre $\pi$ (altre cop, semblava que parlava més de $\pi$ que d'e).
Però sobretot, a partir d'un cert moment, el llibre es dedica a fer un repàs a tota la història del càlcul, prenent com a fil el nombre e. Un repàs molt recomanable.
I, com no podia ser de cap més forma, acaba amb uns capítols dedicats a espirals logarítmiques, catenàries, la fórmula d'Euler ($e^{\pi i}+1=0$) i nombres trascendents i algebraics.
En resum: un llibre que jo recomanaria a qualsevol.
I, per acabar, la cita amb la que acaba el llibre, d'Edmund Landau
El llibre és una petita joia que ens porta per tota la història del nombre e. Bé, de fet, i l'únic retret que tinc al llibre, és que no només ens porta la història del nombre e, sinó que també parla molt de $\pi$, fins al punt que, en molts capítols, em preguntava si era un llibre sobre e o era un llibre sobre $\pi$ (que ja vindrà!).
És un d'aquells llibres que m'agrada llegir a poc a poc, i que per això em duren molt de temps. Però sóc incapaç de retenir massa informació en un sol dia (o en una sola setmana), així que mica en mica, vaig llegint.
El llibre em va agradar tant i hi havia tantes coses interessants, que en vaig fer dos posts (tot i que podrien haver estat una pila més!). El primer de tot sobre Napier i sobre el fet que Napier va ser un segle anterior a la definició del nombre e, però tot i així va fer unes taules de logaritmes que gairebé eren en base 1/e. I el segon, unes sèries on apareix el nombre $\pi$ (altre cop, semblava que parlava més de $\pi$ que d'e).
Però sobretot, a partir d'un cert moment, el llibre es dedica a fer un repàs a tota la història del càlcul, prenent com a fil el nombre e. Un repàs molt recomanable.
I, com no podia ser de cap més forma, acaba amb uns capítols dedicats a espirals logarítmiques, catenàries, la fórmula d'Euler ($e^{\pi i}+1=0$) i nombres trascendents i algebraics.
En resum: un llibre que jo recomanaria a qualsevol.
I, per acabar, la cita amb la que acaba el llibre, d'Edmund Landau
The letter e may now no longer be used to denote anything other than this positive universal constant (the solution of the equation ln x = 1).
divendres, 4 de juny del 2010
Les velocitats dels diferents estils (una millora?)
Parlava l'altre dia del meu "problema" que consistia a trobar les velocitats mitjanes de cada estil usant un mètode iteratiu, amb les dades de la distància recorreguda amb cada estil i el temps total.
Per mi és molt més senzill pensar la velocitat com el temps que trigo a fer 100 metres. És una cosa "palpable" i en la que de seguida es pot veure una variació. De moment compto aquest temps en minuts, però no descarto canviar a segons si això em va millor. Per tant, a partir d'ara, cada cop que digui "velocitat" estaré dient "el temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres".
Així doncs, jo coneixo les velocitats del dia anterior: $v_{c_{ant}}$, $v_{p_{ant}}$, $v_{e_{ant}}$ i $v_{b_{ant}}$, així com les distàncies que he recorregut de cada estil: $d_c$, $d_p$, $d_e$ i $d_b$ (i per tant, la distància total que he recorregut avui, $d$). I, per últim, conec el temps que he nedat avui, $t$.
Amb aquestes dades, jo puc calcular la velocitat mitjana a la que he anat avui, $v_{mitjana} = 100 t/d$, així com la velocitat mitjana a la que hagués anat si hagués anat amb les velocitats calculades del dia anterior:
$$
v_{anterior} = \frac{d_c v_{c_{ant}}+d_p v_{p_{ant}}+d_e v_{e_{ant}}+d_b v_{b_{ant}}}{d}.
$$
D'acord, fins aquí no he dit res nou. Tot és el mateix que el que vaig dir dilluns. La diferència entre aquestes dues velocitats serà la que em dirà "com de lluny" estic de les velocitats actuals, i per tant, quant he de canviar aquestes velocitats.
Però, amb el mètode de l'altre dia, les velocitats "noves" no em garanteixen que la velocitat mitjana sigui la que ha de ser. Així que m'he plantejat que per cada estil, podria tenir una nova velocitat que hauria de ser:
$$
v_{estil} = v_{ant_{estil}} + (v_{mitjana}-v_{anterior}) p_{estil} k,
$$
on $p_{estil}$ és com l'altre dia el tant per u nedat d'aquell estil i $k$ és una determinada constant, igual per tots els estils.
Doncs ara només es tracta d'agafar aquestes noves velocitats, calcular quina seria la velocitat mitjana en aquest cas, igualar-la a la velocitat mitjana del dia, resoldre l'equació i trobar $k$.
El procediment és molt fàcil (només cal escriure-ho tot i resoldre una equació lineal), però és pesat d'escriure, així que poso directament el valor de $k$ que surt:
$$
k = \frac{d^2}{d_c^2+d_p^2+d_e^2+d_b^2}.
$$
Però, cal anar amb compte amb una cosa... si per alguna cosa un dia faig totes les piscines del mateix estil, em seguirà fent el mateix que amb l'altre mètode?
Doncs sí, per com l'he construït, i perquè $k=1$.
Més coses, quins valors pot prendre $k$? Doncs com a molt petit serà 1, i com a molt gran, si la freqüència de cada estil és 1/4, podrà valer 4. En aquest últim cas, $p_{estil} k=1$.
Està clar que, com que la $k$ en aquest cas sempre és més gran que 1, les variacions de les velocitats seran més grans. Si sempre anés a la mateixa velocitat (aproximadament), tinc bastant clar que aquest mètode convergiria més ràpid (és més una intuïció que no pas que hagi fet els càlculs).
La pregunta és, doncs, quin d'aquests dos mètodes convergirà més ràpid? El primer o aquesta "millora"?
Com que a finals de juliol me'n vaig de congrés, i a l'agost no sé si podré seguir un ritme regular (amb la conseqüent pèrdua de velocitat), miraré de publicar uns primers resultats a finals de juliol. Ara deixo el tema de les velocitats per un temps... o no :-D
Per mi és molt més senzill pensar la velocitat com el temps que trigo a fer 100 metres. És una cosa "palpable" i en la que de seguida es pot veure una variació. De moment compto aquest temps en minuts, però no descarto canviar a segons si això em va millor. Per tant, a partir d'ara, cada cop que digui "velocitat" estaré dient "el temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres".
Així doncs, jo coneixo les velocitats del dia anterior: $v_{c_{ant}}$, $v_{p_{ant}}$, $v_{e_{ant}}$ i $v_{b_{ant}}$, així com les distàncies que he recorregut de cada estil: $d_c$, $d_p$, $d_e$ i $d_b$ (i per tant, la distància total que he recorregut avui, $d$). I, per últim, conec el temps que he nedat avui, $t$.
Amb aquestes dades, jo puc calcular la velocitat mitjana a la que he anat avui, $v_{mitjana} = 100 t/d$, així com la velocitat mitjana a la que hagués anat si hagués anat amb les velocitats calculades del dia anterior:
$$
v_{anterior} = \frac{d_c v_{c_{ant}}+d_p v_{p_{ant}}+d_e v_{e_{ant}}+d_b v_{b_{ant}}}{d}.
$$
D'acord, fins aquí no he dit res nou. Tot és el mateix que el que vaig dir dilluns. La diferència entre aquestes dues velocitats serà la que em dirà "com de lluny" estic de les velocitats actuals, i per tant, quant he de canviar aquestes velocitats.
Però, amb el mètode de l'altre dia, les velocitats "noves" no em garanteixen que la velocitat mitjana sigui la que ha de ser. Així que m'he plantejat que per cada estil, podria tenir una nova velocitat que hauria de ser:
$$
v_{estil} = v_{ant_{estil}} + (v_{mitjana}-v_{anterior}) p_{estil} k,
$$
on $p_{estil}$ és com l'altre dia el tant per u nedat d'aquell estil i $k$ és una determinada constant, igual per tots els estils.
Doncs ara només es tracta d'agafar aquestes noves velocitats, calcular quina seria la velocitat mitjana en aquest cas, igualar-la a la velocitat mitjana del dia, resoldre l'equació i trobar $k$.
El procediment és molt fàcil (només cal escriure-ho tot i resoldre una equació lineal), però és pesat d'escriure, així que poso directament el valor de $k$ que surt:
$$
k = \frac{d^2}{d_c^2+d_p^2+d_e^2+d_b^2}.
$$
Però, cal anar amb compte amb una cosa... si per alguna cosa un dia faig totes les piscines del mateix estil, em seguirà fent el mateix que amb l'altre mètode?
Doncs sí, per com l'he construït, i perquè $k=1$.
Més coses, quins valors pot prendre $k$? Doncs com a molt petit serà 1, i com a molt gran, si la freqüència de cada estil és 1/4, podrà valer 4. En aquest últim cas, $p_{estil} k=1$.
Està clar que, com que la $k$ en aquest cas sempre és més gran que 1, les variacions de les velocitats seran més grans. Si sempre anés a la mateixa velocitat (aproximadament), tinc bastant clar que aquest mètode convergiria més ràpid (és més una intuïció que no pas que hagi fet els càlculs).
La pregunta és, doncs, quin d'aquests dos mètodes convergirà més ràpid? El primer o aquesta "millora"?
Com que a finals de juliol me'n vaig de congrés, i a l'agost no sé si podré seguir un ritme regular (amb la conseqüent pèrdua de velocitat), miraré de publicar uns primers resultats a finals de juliol. Ara deixo el tema de les velocitats per un temps... o no :-D
dilluns, 31 de maig del 2010
Les velocitats dels diferents estils
Parteixo d'un problema senzill de matemàtiques aplicades a la vida quotidiana. M'imagino, per un moment, que sóc una espècie de màquina i que sempre camino a la mateixa velocitat (independentment de la distància i del terreny) i que també corro sempre a la mateixa velocitat. Però no sé aquestes velocitats.
El primer dia surto de casa i camino 3 Km i en corro 7. En total, he estat fora de casa durant 78 minuts i 9 segons. Puc saber a quina velocitat corro i a quina velocitat camino? Doncs no. Puc dir, per exemple, que si camino a 4.5 Km/h, aleshores corro a 11 Km/h. Però, com sé a quina velocitat camino? Només tinc una equació i dues incògnites.
Si el dia següent surto i camino 2 Km i en corro 6 i el rellotge marca 60 minuts i 16 segons, aleshores sí que podré saber a quina velocitat corro i a quina camino. Només em caldrà resoldre el sistema:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{3}{x}+\frac{7}{y} = \frac{78.15}{60} \\
\frac{2}{x}+\frac{6}{y} = \frac{60.26}{60}
\end{array}
\right.
$$
El resultat em donarà les velocitats en Km/h: 5.1 Km/h quan camino i 9.8 Km/h quan corro.
Però, òbviament, no sóc una màquina, i després d'entrenar semblaria que les meves velocitats han d'augmentar. Per no parlar del fet que no és el mateix córrer 3 Km que córrer-ne 10, però obviaré aquest fet en una primera iteració i em centraré només en calcular les velocitats... però en comptes de fer-ho per caminar/córrer, ho faré pels estils de la natació.
Puc començar amb el mateix problema, però pensant que vaig a la piscina, nedo una estona, i sé quant de temps he estat a l'aigua i quants metres he fet de cada estil. Com puc trobar la velocitat mitjana de cada estil?
Una primera manera és anar a la piscina quatre dies i resoldre el sistema. Però... la velocitat en cada estil no és sempre la mateixa! A part de la dificultat de resoldre el sistema...
Tot ha començat amb la idea de tenir una espècie de càlcul senzill en el que pugui anar veient l'evolució de les velocitats dels diferents estils. Tenint en compte que tinc mala memòria i ja tinc prou feina a recordar quants metres he fet de cada estil i quants minuts hi he estat, i per tant és difícil que pugui recordar quant de temps he estat fent cada sèrie.
El simple fet de veure "evolució" m'ha fet pensar en un mètode iteratiu.
Així doncs, el primer dia què sé? A part de que feia molt que no nedava i que estic molt cansada i que abans anava molt més ràpid i bla, bla, bla? Doncs el primer dia només tinc les distàncies i el temps. Sembla lògic que la meva velocitat de crol serà més ràpida. Fa molts anys la de papallona se li acostava. Després anava l'esquena. Després la braça. Però, i ara? I en quin percentatge serà millor?
La "llavor inicial" haurà de ser, doncs, la millor aproximació que tinc: la mateixa velocitat mitjana per tots els estils.
I després?
Doncs després està clar que si faig moltes més piscines d'un determinat estil, aquest haurà de "predominar" a l'hora de canviar les velocitats. Però també he de tenir en compte les velocitats anteriors...
En el meu cas m'he decidit a aplicar una fórmula per calcular la nova velocitat per cada estil:
$$
v_{estil} = v_{estil} + (v_{mitjana_avui}-v_{anterior})p_{estil}.
$$
La velocitat mitjana d'avui està clara: la velocitat mitjana que he fet avui sense tenir en compte els estils que he fet servir.
La velocitat anterior (a falta d'un millor nom) és la velocitat mitjana a la que hagués anat si realment hagués anat amb les velocitats que tenia calculades del dia abans per cada estil. O sigui, que si vaig realment a aquella velocitat, la velocitat mitjana seria igual que l'anterior. I, com més diferència hi hagi entre les dues, és que estic fent un error més gran.
Per últim, la p és el tant per u de metres que he fet amb aquell estil. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ serà igual per tots els estils, però és lògic que l'estil que he utilitzat més durant el dia estigui més penalitzat a l'hora de canviar les velocitats. Això sense tenir en compte que si un dia faig totes les piscines amb el mateix estil (quin avorriment!), aleshores aquesta fórmula posarà exactament la meva velocitat en aquell estil i els altres els deixarà com estaven.
I ara la pregunta...
El mètode acabarà convergint? Comptant, és clar, que jo tingui un ritme regular que no varii massa d'un dia per l'altre.
Començant per alguna altra aproximació, el mètode també convergiria?
Sí, tot depèn de les unitats. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ pot ser molt gran depenent del que siguin aquestes velocitats... Bé, no treballaré amb velocitats (a sobre!) sinó que aquestes $v$ seran els temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres. O sigui, que les diferències poden ser grosses.
I ara la segona pregunta...
Què passa si en algun moment tinc una velocitat negativa?
Doncs jo em mullo (jajaja), i dic que el mètode acabarà convergint (tot i que no estic segura de quantes iteracions li caldran perquè s'acosti a alguna cosa "bona"). També dic que al principi hi haurà moltes oscil.lacions però dubto que hi hagi alguna velocitat negativa. Per haver-hi alguna velocitat negativa, en algun moment s'hauria de donar el cas que la diferència entre velocitats mitjanes fos més gran que alguna velocitat per algun estil. No descarto del tot tanta variabilitat, però em sembla que no hi arribaré. Tot i així, encara que al principi varii molt, jo crec que al final acabarà tendint al que li toca.
Quan hagi fet uns quants entrenaments i tingui algunes gràfiques, ja les ensenyaré. Tot i que, em torno a mullar, no crec que acabi convergint fins cap a les 100 iteracions. I això poden ser uns quants mesos...
AVIS: Fins i tot abans de publicar el missatge (i de fer cap piscina, que no em puc donar d'alta fins al juny!) ja tinc una "millora" del mètode que no sé si és millora. La "millora" es publicarà automàticament el divendres...
El primer dia surto de casa i camino 3 Km i en corro 7. En total, he estat fora de casa durant 78 minuts i 9 segons. Puc saber a quina velocitat corro i a quina velocitat camino? Doncs no. Puc dir, per exemple, que si camino a 4.5 Km/h, aleshores corro a 11 Km/h. Però, com sé a quina velocitat camino? Només tinc una equació i dues incògnites.
Si el dia següent surto i camino 2 Km i en corro 6 i el rellotge marca 60 minuts i 16 segons, aleshores sí que podré saber a quina velocitat corro i a quina camino. Només em caldrà resoldre el sistema:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{3}{x}+\frac{7}{y} = \frac{78.15}{60} \\
\frac{2}{x}+\frac{6}{y} = \frac{60.26}{60}
\end{array}
\right.
$$
El resultat em donarà les velocitats en Km/h: 5.1 Km/h quan camino i 9.8 Km/h quan corro.
Però, òbviament, no sóc una màquina, i després d'entrenar semblaria que les meves velocitats han d'augmentar. Per no parlar del fet que no és el mateix córrer 3 Km que córrer-ne 10, però obviaré aquest fet en una primera iteració i em centraré només en calcular les velocitats... però en comptes de fer-ho per caminar/córrer, ho faré pels estils de la natació.
Puc començar amb el mateix problema, però pensant que vaig a la piscina, nedo una estona, i sé quant de temps he estat a l'aigua i quants metres he fet de cada estil. Com puc trobar la velocitat mitjana de cada estil?
Una primera manera és anar a la piscina quatre dies i resoldre el sistema. Però... la velocitat en cada estil no és sempre la mateixa! A part de la dificultat de resoldre el sistema...
Tot ha començat amb la idea de tenir una espècie de càlcul senzill en el que pugui anar veient l'evolució de les velocitats dels diferents estils. Tenint en compte que tinc mala memòria i ja tinc prou feina a recordar quants metres he fet de cada estil i quants minuts hi he estat, i per tant és difícil que pugui recordar quant de temps he estat fent cada sèrie.
El simple fet de veure "evolució" m'ha fet pensar en un mètode iteratiu.
Així doncs, el primer dia què sé? A part de que feia molt que no nedava i que estic molt cansada i que abans anava molt més ràpid i bla, bla, bla? Doncs el primer dia només tinc les distàncies i el temps. Sembla lògic que la meva velocitat de crol serà més ràpida. Fa molts anys la de papallona se li acostava. Després anava l'esquena. Després la braça. Però, i ara? I en quin percentatge serà millor?
La "llavor inicial" haurà de ser, doncs, la millor aproximació que tinc: la mateixa velocitat mitjana per tots els estils.
I després?
Doncs després està clar que si faig moltes més piscines d'un determinat estil, aquest haurà de "predominar" a l'hora de canviar les velocitats. Però també he de tenir en compte les velocitats anteriors...
En el meu cas m'he decidit a aplicar una fórmula per calcular la nova velocitat per cada estil:
$$
v_{estil} = v_{estil} + (v_{mitjana_avui}-v_{anterior})p_{estil}.
$$
La velocitat mitjana d'avui està clara: la velocitat mitjana que he fet avui sense tenir en compte els estils que he fet servir.
La velocitat anterior (a falta d'un millor nom) és la velocitat mitjana a la que hagués anat si realment hagués anat amb les velocitats que tenia calculades del dia abans per cada estil. O sigui, que si vaig realment a aquella velocitat, la velocitat mitjana seria igual que l'anterior. I, com més diferència hi hagi entre les dues, és que estic fent un error més gran.
Per últim, la p és el tant per u de metres que he fet amb aquell estil. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ serà igual per tots els estils, però és lògic que l'estil que he utilitzat més durant el dia estigui més penalitzat a l'hora de canviar les velocitats. Això sense tenir en compte que si un dia faig totes les piscines amb el mateix estil (quin avorriment!), aleshores aquesta fórmula posarà exactament la meva velocitat en aquell estil i els altres els deixarà com estaven.
I ara la pregunta...
El mètode acabarà convergint? Comptant, és clar, que jo tingui un ritme regular que no varii massa d'un dia per l'altre.
Començant per alguna altra aproximació, el mètode també convergiria?
Sí, tot depèn de les unitats. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ pot ser molt gran depenent del que siguin aquestes velocitats... Bé, no treballaré amb velocitats (a sobre!) sinó que aquestes $v$ seran els temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres. O sigui, que les diferències poden ser grosses.
I ara la segona pregunta...
Què passa si en algun moment tinc una velocitat negativa?
Doncs jo em mullo (jajaja), i dic que el mètode acabarà convergint (tot i que no estic segura de quantes iteracions li caldran perquè s'acosti a alguna cosa "bona"). També dic que al principi hi haurà moltes oscil.lacions però dubto que hi hagi alguna velocitat negativa. Per haver-hi alguna velocitat negativa, en algun moment s'hauria de donar el cas que la diferència entre velocitats mitjanes fos més gran que alguna velocitat per algun estil. No descarto del tot tanta variabilitat, però em sembla que no hi arribaré. Tot i així, encara que al principi varii molt, jo crec que al final acabarà tendint al que li toca.
Quan hagi fet uns quants entrenaments i tingui algunes gràfiques, ja les ensenyaré. Tot i que, em torno a mullar, no crec que acabi convergint fins cap a les 100 iteracions. I això poden ser uns quants mesos...
AVIS: Fins i tot abans de publicar el missatge (i de fer cap piscina, que no em puc donar d'alta fins al juny!) ja tinc una "millora" del mètode que no sé si és millora. La "millora" es publicarà automàticament el divendres...
divendres, 16 d’abril del 2010
Quina forma tenen les monedes de 20 i 50 penics?
Aquesta imatge és d'una moneda de 20 penics:
I aquesta altra, d'una de 50 penics:
Què tenen de particular aquestes dues monedes?
A les imatges està clar que les dues monedes no són cercles. No és que s'hagin "trencat" i que per això tinguin aquesta forma: ja en un principi eren així.
Però una dels avantatges de les monedes circulars és que, en posar-les a les màquines, tots els diàmetres són iguals, i es pot comprovar més fàcilment quines monedes són i si són falses (bé, més o menys).
Aleshores, els anglesos tenen unes monedes que no els serveixen per les màquines o és que són més espavilats que la resta?
Les dues monedes en realitat són heptàgons de Reuleaux. Són part d'una família de figures anomenades polígons de Reuleaux que compleixen que, se'ls miri per on se'ls miri, sempre tenen el mateix diàmetre.
D'aquesta família també són molt coneguts els triangles de Reuleaux, que compleixen que són la figura amb menys àrea que compleix la condició de que mirant des de qualsevol punt tinguin el mateix diàmetre.
Per això s'utilitzen sovint com a tapes per a claveguera.
És clar que una aplicació força friki dels polígons de Reuleaux seria aquesta bici:
A la roda de davant hi ha un pentàgon de Reuleaux i a la de darrere, un triangle. No sé si m'atreviria a portar-la...
I aquesta altra, d'una de 50 penics:
Què tenen de particular aquestes dues monedes?
A les imatges està clar que les dues monedes no són cercles. No és que s'hagin "trencat" i que per això tinguin aquesta forma: ja en un principi eren així.
Però una dels avantatges de les monedes circulars és que, en posar-les a les màquines, tots els diàmetres són iguals, i es pot comprovar més fàcilment quines monedes són i si són falses (bé, més o menys).
Aleshores, els anglesos tenen unes monedes que no els serveixen per les màquines o és que són més espavilats que la resta?
Les dues monedes en realitat són heptàgons de Reuleaux. Són part d'una família de figures anomenades polígons de Reuleaux que compleixen que, se'ls miri per on se'ls miri, sempre tenen el mateix diàmetre.
D'aquesta família també són molt coneguts els triangles de Reuleaux, que compleixen que són la figura amb menys àrea que compleix la condició de que mirant des de qualsevol punt tinguin el mateix diàmetre.
Per això s'utilitzen sovint com a tapes per a claveguera.
És clar que una aplicació força friki dels polígons de Reuleaux seria aquesta bici:
A la roda de davant hi ha un pentàgon de Reuleaux i a la de darrere, un triangle. No sé si m'atreviria a portar-la...
dissabte, 13 de març del 2010
Per què algunes antenes són parabòliques?
Abans de començar, què és una paràbola?
Doncs una paràbola és una cònica (o sigui, que s'obtè tallant un con i un pla), que es pot definir com el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt F (que anomenarem focus) i una recta d que no contè el punt (que anomenarem directriu).
Però, per què poso aquesta definició i no alguna altra? Doncs perquè necessitaré el focus.
De qualsevol manera, si la distància entre el focus i la directriu és $\frac{1}{2a}$, mitjançant rotacions i translacions, podem col.locar la directriu a $y=-\frac{1}{4a}$ i el focus en el punt $(0,\frac{1}{4a})$. Aquest focus i aquesta directriu ens generen la paràbola $y=ax^2$.
Les paràboles tenen una propietat molt interessant, que és que qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu (en el nostre cas, vertical), quan es reflexi a la paràbola, passarà pel focus. I, de fet, a més de passar pel focus, el raig es tornarà a reflectir a la paràbola i tornarà a sortir perpendicular a la directriu (o sigui, vertical, o el que és el mateix, en la mateixa direcció en la que havia entrat, però en sentit contrari, és clar!)
Per provar aquesta propietat n'hi ha prou en veure que donada la paràbola $y=ax^2$ i un punt de la paràbola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mateix angle amb la tangent al punt que la recta que va del punt al focus. O sigui, mirant el gràfic, s'ha de veure que els angles $\alpha$ i $\beta$ són els mateixos.
(Per simetria, es pot suposar que $b$ és positiu, i també es pot suposar que $b$ és diferent de zero, perquè en el cas que sigui 0, és obvi que passa pel focus).
Però l'angle $\beta$ és el mateix que es forma entre els segments FQ i QP, on Q és el punt on la tangent talla l'eix d'ordenades. Per tant, només cal veure que el triangle FQP és isòsceles.
Com que el pendent de la recta tangent al punt $(b,ab^2)$ és $2ab$, la recta tangent és
$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$
o sigui
$$y=2abx-ab^2. $$
Per tant, el punt Q és $(0,-ab^2)$.
El segment FQ té una llargada de $\frac{1}{4a}+ab^2$.
El segment FP té una llargada de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.
Per tant, el triangle és isòsceles, els angles són iguals, i tots els raigs que arriben verticals es reflexen i passen pel focus.
De fet, amb això, també podem veure que qualsevol raig que estigui a distància $c$ de l'eix, ha de recórrer la mateixa distància per reflexar-se i arribar al focus.
Aquesta distància és:
La distància fins a arribar a reflexar-se en un punt: $c-ab^2$.
La distància des de la paràbola a l'eix: $\frac{1}{4a}+ab^2$.
Per tant, la distància sempre és $c+\frac{1}{4a}$.
Si, però les paràboles són corbes, no superfícies, i viuen al pla, no a l'espai. Per això, per construir antenes, s'utilitzen paraboloides de revolució, que són les superfícies que s'obtenen fent girar una paràbola d'aquest estil al voltant de l'eix d'ordenades.
Aquests paraboloides tenen la mateixa propietat que les paràboles: qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu, es reflectirà en el paraboloide i passarà pel focus. Per tant, només cal agafar i posar el receptor al focus, on sap que passaran totes les ones. A més, el temps entre que s'emetin i que arribin al focus només dependrà de la distància a l'antena, no al punt on s'han reflectit.
I ja per acabar, aquesta propietat dels paraboloides és la mateixa que fan servir els flaixos de les càmeres, però a l'inversa: emetent una llum des del focus, aquesta es reflectirà en rajos sempre perpendiculars a la direcció que volem, i per qualsevol pla a on "enfoquem" el flaix, la llum hi arribarà sempre al mateix temps.
Doncs una paràbola és una cònica (o sigui, que s'obtè tallant un con i un pla), que es pot definir com el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt F (que anomenarem focus) i una recta d que no contè el punt (que anomenarem directriu).
Però, per què poso aquesta definició i no alguna altra? Doncs perquè necessitaré el focus.
De qualsevol manera, si la distància entre el focus i la directriu és $\frac{1}{2a}$, mitjançant rotacions i translacions, podem col.locar la directriu a $y=-\frac{1}{4a}$ i el focus en el punt $(0,\frac{1}{4a})$. Aquest focus i aquesta directriu ens generen la paràbola $y=ax^2$.
Les paràboles tenen una propietat molt interessant, que és que qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu (en el nostre cas, vertical), quan es reflexi a la paràbola, passarà pel focus. I, de fet, a més de passar pel focus, el raig es tornarà a reflectir a la paràbola i tornarà a sortir perpendicular a la directriu (o sigui, vertical, o el que és el mateix, en la mateixa direcció en la que havia entrat, però en sentit contrari, és clar!)
Per provar aquesta propietat n'hi ha prou en veure que donada la paràbola $y=ax^2$ i un punt de la paràbola $P (b, ab^2)$, una recta vertical forma el mateix angle amb la tangent al punt que la recta que va del punt al focus. O sigui, mirant el gràfic, s'ha de veure que els angles $\alpha$ i $\beta$ són els mateixos.
(Per simetria, es pot suposar que $b$ és positiu, i també es pot suposar que $b$ és diferent de zero, perquè en el cas que sigui 0, és obvi que passa pel focus).
Però l'angle $\beta$ és el mateix que es forma entre els segments FQ i QP, on Q és el punt on la tangent talla l'eix d'ordenades. Per tant, només cal veure que el triangle FQP és isòsceles.
Com que el pendent de la recta tangent al punt $(b,ab^2)$ és $2ab$, la recta tangent és
$$y=2ab(x-b)+ab^2,$$
o sigui
$$y=2abx-ab^2. $$
Per tant, el punt Q és $(0,-ab^2)$.
El segment FQ té una llargada de $\frac{1}{4a}+ab^2$.
El segment FP té una llargada de $\sqrt{b^2+(ab^2-\frac{1}{4a})^2} = \frac{1}{4a}+ab^2$.
Per tant, el triangle és isòsceles, els angles són iguals, i tots els raigs que arriben verticals es reflexen i passen pel focus.
De fet, amb això, també podem veure que qualsevol raig que estigui a distància $c$ de l'eix, ha de recórrer la mateixa distància per reflexar-se i arribar al focus.
Aquesta distància és:
La distància fins a arribar a reflexar-se en un punt: $c-ab^2$.
La distància des de la paràbola a l'eix: $\frac{1}{4a}+ab^2$.
Per tant, la distància sempre és $c+\frac{1}{4a}$.
Si, però les paràboles són corbes, no superfícies, i viuen al pla, no a l'espai. Per això, per construir antenes, s'utilitzen paraboloides de revolució, que són les superfícies que s'obtenen fent girar una paràbola d'aquest estil al voltant de l'eix d'ordenades.
Aquests paraboloides tenen la mateixa propietat que les paràboles: qualsevol raig que entri perpendicular a la directriu, es reflectirà en el paraboloide i passarà pel focus. Per tant, només cal agafar i posar el receptor al focus, on sap que passaran totes les ones. A més, el temps entre que s'emetin i que arribin al focus només dependrà de la distància a l'antena, no al punt on s'han reflectit.
I ja per acabar, aquesta propietat dels paraboloides és la mateixa que fan servir els flaixos de les càmeres, però a l'inversa: emetent una llum des del focus, aquesta es reflectirà en rajos sempre perpendiculars a la direcció que volem, i per qualsevol pla a on "enfoquem" el flaix, la llum hi arribarà sempre al mateix temps.
dimecres, 24 de febrer del 2010
Paradoxa de De Méré
De Méré va ser un cavaller i filòsof del segle XVIII.
Es dedicava a les apostes per guanyar uns diners. Usava un dau sense trucar.
Al principi, apostava que podia aconseguir treure un u en quatre tirades del dau. I així va anar guanyant diners.
Però, al cap del temps, va canviar l'aposta: Apostava que, tirant dos daus 24 vegades, podia treure una parella d'uns.
Llavors va començar a perdre.
Per què?
(No s'hi val preguntar a sant google!)
Es dedicava a les apostes per guanyar uns diners. Usava un dau sense trucar.
Al principi, apostava que podia aconseguir treure un u en quatre tirades del dau. I així va anar guanyant diners.
Però, al cap del temps, va canviar l'aposta: Apostava que, tirant dos daus 24 vegades, podia treure una parella d'uns.
Llavors va començar a perdre.
Per què?
(No s'hi val preguntar a sant google!)
dimecres, 10 de febrer del 2010
pi amb sumes i productes infinits
$\pi$ és un nombre que es defineix de forma senzilla com la proporció entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.
Però, durant la història de les matemàtiques, s'han trobat diverses fórmules que permetien calcular el nombre $\pi$ a través de sumes o productes infinits.
La primera vegada que algú va trobar una fórmula d'aquest estil va ser François Viète. Al 1593 va publicar el que era el primer producte infinit de la història de la matemàtica, amb el que es pot obtenir el nombre $\pi$:
$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$
Aquesta fórmula prové de càlculs trigonomètrics.
Només amb aquests termes, l'aproximació de $\pi$ que s'obté és de 3.12. Afegint un terme més, el resultat és 3.1365. La següent aproximació és 3.1403.
Mig segle després, al 1655, John Wallis va trobar una altra forma de calcular $\pi$ mitjançant un producte infinit:
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$
conegut actualment com el producte de Wallis.
En aquest cas, els termes del producte són més senzills de calcular. Però pel nombre de termes de la fórmula s'obté una aproximació de $\pi$ de 2.9. Afegint 4 termes més, l'aproximació és de 3.002, i s'acosta molt lentament al valor de $\pi$.
Ja per acabar, una aproximació de $\pi$ per la suma d'una sèrie infinita. Aquesta és deguda a James Gregory, que al 1671 va publicar la fórmula:
$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$
coneguda com la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que prové de la sèrie de Taylor de l'arctangent, calculada per arctan(1).
Aquesta fórmula també convergeix molt lentament cap a $\pi$ i calen uns 300 termes per obtenir-lo amb 2 decimals correctes!
Font: e: the Story of a Number.
Però, durant la història de les matemàtiques, s'han trobat diverses fórmules que permetien calcular el nombre $\pi$ a través de sumes o productes infinits.
La primera vegada que algú va trobar una fórmula d'aquest estil va ser François Viète. Al 1593 va publicar el que era el primer producte infinit de la història de la matemàtica, amb el que es pot obtenir el nombre $\pi$:
$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$
Aquesta fórmula prové de càlculs trigonomètrics.
Només amb aquests termes, l'aproximació de $\pi$ que s'obté és de 3.12. Afegint un terme més, el resultat és 3.1365. La següent aproximació és 3.1403.
Mig segle després, al 1655, John Wallis va trobar una altra forma de calcular $\pi$ mitjançant un producte infinit:
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$
conegut actualment com el producte de Wallis.
En aquest cas, els termes del producte són més senzills de calcular. Però pel nombre de termes de la fórmula s'obté una aproximació de $\pi$ de 2.9. Afegint 4 termes més, l'aproximació és de 3.002, i s'acosta molt lentament al valor de $\pi$.
Ja per acabar, una aproximació de $\pi$ per la suma d'una sèrie infinita. Aquesta és deguda a James Gregory, que al 1671 va publicar la fórmula:
$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$
coneguda com la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que prové de la sèrie de Taylor de l'arctangent, calculada per arctan(1).
Aquesta fórmula també convergeix molt lentament cap a $\pi$ i calen uns 300 termes per obtenir-lo amb 2 decimals correctes!
Font: e: the Story of a Number.
pi con sumas y productos infinitos
Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al primer Carnaval de matemáticas.
$\pi$ es un número que se define simplemente como la proporción entre la longitud de una circumferencia y su diámetro.
Sin embargo, durante la historia de las matemáticas, se han encontrado diversas fórmulas que permiten calcular el número $\pi$ a través de sumas o productos infinitos.
La primera vez que alguien encontró una fórmula de este tipo fue François Viète. En 1593 publicó el que sería el primer producto infinito de la historia de la matemática, con el que se puede obtener el número $\pi$:
$$ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots$$
Esta fórmula proviene de cálculos trigonométricos.
Sólo con estos términos, la aproximación de $\pi$ que se obtiene es de 3.12. Añadiendo un término más, el resultado es de 3.1365. La aproximación siguiente es 3.1403.
Medio siglo más tarde, en 1655, John Wallis encontró otra forma de calcular $\pi$ usando un producto infinito:
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots,$$
conocido actualmente como el producto de Wallis.
En este caso, los términos del producto son más fáciles de calcular. Pero para el número de términos de la fórmula se obtiene una aproximación de $\pi$ de 2.9. Añadiendo 4 términos más, la aproximación es de 3.002, y se va acercando muy lentamente al valor de $\pi$.
Ya para finalizar, una aproximación de $\pi$ usando la suma de una serie infinita. Esta es debida a James Gregory, que en 1671 publicó la fórmula:
$$ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots,$$
conocida como la fórmula de Leibniz (o fórmula de Gregory-Leibniz), que proviene de la serie de Taylor del arco tangente, calculada para arctan(1).
Esta fórmula también converge muy lentamente a $\pi$ y se necesitan unos 300 términos para obtenerlo con 2 decimales correctos!
Fuente: e: the Story of a Number.
dissabte, 16 de gener del 2010
El logaritme neperià (2)
(Ve d'aquí).
Així doncs, Napier es va dedicar a fer unes taules, semblants als logaritmes actuals, però no iguals, que feien les multiplicacions més fàcils.
El problema era: quina base agafar? Com que no podia posar exponents fraccionaris, agafar una base com per exemple 2 no hagués servit de massa, perquè s'hagués deixat molts nombres pel mig (com hagués calculat el logaritme de 3, per exemple?)
Per tant, havia d'escollir una base molt propera a 1, per no deixar-se nombres pel camí. Napier es va decidir per $1-10^{-7}$, o sigui, 0.9999999. Fent les potències s'obtenen molts nombres diferents, però... tots menors que 1. Així que els va multiplicar per $10^{7}$.
Així doncs, segons la definició actual, nosaltres diem que $c = log_a (b)$ si es compleix que $a^c=b$.
Segons la definició de Napier, el logaritme d'un nombre x era aquell nombre $N$ que complia que x era igual a $10^7(1-10^{-7})^N$. Amb aquesta definició, les multiplicacions es poden fer més fàcilment, com en el cas dels nostres logaritmes.
Però, com ja vaig dir, aquest logaritme és una funció decreixent i no hi apareix el nombre $e$... No hi apareix?
Podem recordar que una de les definicions del nombre $e$ (molt coneguda pels que ens vam fer un fart de fer límits a l'institut) és:
$$e = \lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n. $$
De la mateixa manera que existeix aquest límit, també podem considerar
$$1/e = e^{-1} = \lim_{n->\infty} (1-\frac{1}{n})^n. $$
D'altra banda, tots sabem que el logaritme d'1 en qualsevol base és 0. Usant la definició de logaritmes de Napier, és el logaritme de $10^7$ el que val 0. Aleshores... i si "normalitzéssim" d'alguna manera els logaritmes de Napier?
En comptes de dir que el logaritme d'$N$ és $L$ si es compleix que
$ N = 10^7(1-10^{-7})^L,$
podem normalitzar i prendre $N^*=N/10^7$ i $L^*=L/10^7$. Aleshores tenim
$ N^* = ((1-10^{-7})^{10^7})^{L^*},$
que s'assembla molt a la definició que nosaltres coneixem dels logaritmes, usant la base $(1-10^{-7})^{10^7}$. Però... $10^7$ és un nombre molt gran, i aquesta base la podem escriure com
$(1-\frac{1}{10^7})^{10^7},$
que sabem que tendeix a 1/e. De fet, aquest numeret val 0.367879422777... i 1/e val aproximadament 0.36787944117..., i per tant, tenim 7 decimals correctes.
Així doncs, Napier no podia conèixer el nombre e, i no va fer taules amb logaritmes base e, però sense voler-ho... va fer taules amb logaritmes gairebé 1/e!!! I d'aquí ens ha quedat el nom de logaritme neperià.
Font: e: the Story of a Number.
Així doncs, Napier es va dedicar a fer unes taules, semblants als logaritmes actuals, però no iguals, que feien les multiplicacions més fàcils.
El problema era: quina base agafar? Com que no podia posar exponents fraccionaris, agafar una base com per exemple 2 no hagués servit de massa, perquè s'hagués deixat molts nombres pel mig (com hagués calculat el logaritme de 3, per exemple?)
Per tant, havia d'escollir una base molt propera a 1, per no deixar-se nombres pel camí. Napier es va decidir per $1-10^{-7}$, o sigui, 0.9999999. Fent les potències s'obtenen molts nombres diferents, però... tots menors que 1. Així que els va multiplicar per $10^{7}$.
Així doncs, segons la definició actual, nosaltres diem que $c = log_a (b)$ si es compleix que $a^c=b$.
Segons la definició de Napier, el logaritme d'un nombre x era aquell nombre $N$ que complia que x era igual a $10^7(1-10^{-7})^N$. Amb aquesta definició, les multiplicacions es poden fer més fàcilment, com en el cas dels nostres logaritmes.
Però, com ja vaig dir, aquest logaritme és una funció decreixent i no hi apareix el nombre $e$... No hi apareix?
Podem recordar que una de les definicions del nombre $e$ (molt coneguda pels que ens vam fer un fart de fer límits a l'institut) és:
$$e = \lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n. $$
De la mateixa manera que existeix aquest límit, també podem considerar
$$1/e = e^{-1} = \lim_{n->\infty} (1-\frac{1}{n})^n. $$
D'altra banda, tots sabem que el logaritme d'1 en qualsevol base és 0. Usant la definició de logaritmes de Napier, és el logaritme de $10^7$ el que val 0. Aleshores... i si "normalitzéssim" d'alguna manera els logaritmes de Napier?
En comptes de dir que el logaritme d'$N$ és $L$ si es compleix que
$ N = 10^7(1-10^{-7})^L,$
podem normalitzar i prendre $N^*=N/10^7$ i $L^*=L/10^7$. Aleshores tenim
$ N^* = ((1-10^{-7})^{10^7})^{L^*},$
que s'assembla molt a la definició que nosaltres coneixem dels logaritmes, usant la base $(1-10^{-7})^{10^7}$. Però... $10^7$ és un nombre molt gran, i aquesta base la podem escriure com
$(1-\frac{1}{10^7})^{10^7},$
que sabem que tendeix a 1/e. De fet, aquest numeret val 0.367879422777... i 1/e val aproximadament 0.36787944117..., i per tant, tenim 7 decimals correctes.
Així doncs, Napier no podia conèixer el nombre e, i no va fer taules amb logaritmes base e, però sense voler-ho... va fer taules amb logaritmes gairebé 1/e!!! I d'aquí ens ha quedat el nom de logaritme neperià.
Font: e: the Story of a Number.
dilluns, 11 de gener del 2010
Omplint àrees
He trobat un problema on preguntava què "omplia" més, un quadrat inscrit en una circumferència o una circumferència inscrita en un quadrat? O sigui, donat un quadrat d'àrea 1 i una circumferència d'àrea 1, què té més àrea: una circumferència inscrita en el quadrat o un quadrat inscrit en la circumferència?
El problema és força senzill, i demanava trobar-ho sense fer ús de cap tipus de calculadora.
Però, després d'això, se m'ha ocorregut una pregunta: hi ha algun polígon regular d'n costats que compleixi que la circumferència inscrita en un polígon regular d'n costats d'àrea 1 tingui la mateixa àrea que un polígon regular d'n costats inscrit en una circumferència d'àrea 1? Si no és així, quin dels dos és més gran? Depèn d'n?
Continua essent senzill, però m'ha semblat maco.
(Si ningú s'anima, la solució en uns dies).
El problema és força senzill, i demanava trobar-ho sense fer ús de cap tipus de calculadora.
Però, després d'això, se m'ha ocorregut una pregunta: hi ha algun polígon regular d'n costats que compleixi que la circumferència inscrita en un polígon regular d'n costats d'àrea 1 tingui la mateixa àrea que un polígon regular d'n costats inscrit en una circumferència d'àrea 1? Si no és així, quin dels dos és més gran? Depèn d'n?
Continua essent senzill, però m'ha semblat maco.
(Si ningú s'anima, la solució en uns dies).
dimecres, 23 de setembre del 2009
137
No, aquest blog no es convertirà en un conjunt de posts sobre números.
O sí, qui sap...
Ahir se'm va acudir de dir que m'agradava més el 136 que el 137...
Però, és clar, a part de ser 136+1 i de totes les propietats que ens enumera l'Alasanid, 137 és un nombre primer i per tant... el podem trobar a la pàgina de Prime curios! on ens diuen unes quantes propietats del nombre.
I ara, com no, un resum de les que més m'agraden:
O sí, qui sap...
Ahir se'm va acudir de dir que m'agradava més el 136 que el 137...
Però, és clar, a part de ser 136+1 i de totes les propietats que ens enumera l'Alasanid, 137 és un nombre primer i per tant... el podem trobar a la pàgina de Prime curios! on ens diuen unes quantes propietats del nombre.
I ara, com no, un resum de les que més m'agraden:
- 137 és un primer primaveral. Això vol dir que, si prenem els dígits del 137 (no cal agafar-lo tots totes les vegades), podem aconseguir 11 primers: 3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173 i 317. 137 és primaveral perquè és el nombre natural més petit amb el que es poden aconseguir 11 nombres primers.
- És el nombre primer de 3 xifres diferents més petit que, si traiem qualsevol de les seves xifres, continua essent primer.
- És el factor primer més gran del nombre 123456787654321.
- 137 és un divisor de 11111111.
- Si es sumen els quadrats de les xifres de 137, s'obtè 1+9+49=59, que és un altre primer. I entre el 137 i el 59 s'utilitzen totes les xifres senars.
- La suma dels quadrats dels primers 7 dígits de pi és 137.
- Fins avui, en Kasparov i en Karpov havien fet 137 taules.
Subscriure's a:
Missatges (Atom)