Parteixo d'un problema senzill de matemàtiques aplicades a la vida quotidiana. M'imagino, per un moment, que sóc una espècie de màquina i que sempre camino a la mateixa velocitat (independentment de la distància i del terreny) i que també corro sempre a la mateixa velocitat. Però no sé aquestes velocitats.
El primer dia surto de casa i camino 3 Km i en corro 7. En total, he estat fora de casa durant 78 minuts i 9 segons. Puc saber a quina velocitat corro i a quina velocitat camino? Doncs no. Puc dir, per exemple, que si camino a 4.5 Km/h, aleshores corro a 11 Km/h. Però, com sé a quina velocitat camino? Només tinc una equació i dues incògnites.
Si el dia següent surto i camino 2 Km i en corro 6 i el rellotge marca 60 minuts i 16 segons, aleshores sí que podré saber a quina velocitat corro i a quina camino. Només em caldrà resoldre el sistema:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{3}{x}+\frac{7}{y} = \frac{78.15}{60} \\
\frac{2}{x}+\frac{6}{y} = \frac{60.26}{60}
\end{array}
\right.
$$
El resultat em donarà les velocitats en Km/h: 5.1 Km/h quan camino i 9.8 Km/h quan corro.
Però, òbviament, no sóc una màquina, i després d'entrenar semblaria que les meves velocitats han d'augmentar. Per no parlar del fet que no és el mateix córrer 3 Km que córrer-ne 10, però obviaré aquest fet en una primera iteració i em centraré només en calcular les velocitats... però en comptes de fer-ho per caminar/córrer, ho faré pels estils de la natació.
Puc començar amb el mateix problema, però pensant que vaig a la piscina, nedo una estona, i sé quant de temps he estat a l'aigua i quants metres he fet de cada estil. Com puc trobar la velocitat mitjana de cada estil?
Una primera manera és anar a la piscina quatre dies i resoldre el sistema. Però... la velocitat en cada estil no és sempre la mateixa! A part de la dificultat de resoldre el sistema...
Tot ha començat amb la idea de tenir una espècie de càlcul senzill en el que pugui anar veient l'evolució de les velocitats dels diferents estils. Tenint en compte que tinc mala memòria i ja tinc prou feina a recordar quants metres he fet de cada estil i quants minuts hi he estat, i per tant és difícil que pugui recordar quant de temps he estat fent cada sèrie.
El simple fet de veure "evolució" m'ha fet pensar en un mètode iteratiu.
Així doncs, el primer dia què sé? A part de que feia molt que no nedava i que estic molt cansada i que abans anava molt més ràpid i bla, bla, bla? Doncs el primer dia només tinc les distàncies i el temps. Sembla lògic que la meva velocitat de crol serà més ràpida. Fa molts anys la de papallona se li acostava. Després anava l'esquena. Després la braça. Però, i ara? I en quin percentatge serà millor?
La "llavor inicial" haurà de ser, doncs, la millor aproximació que tinc: la mateixa velocitat mitjana per tots els estils.
I després?
Doncs després està clar que si faig moltes més piscines d'un determinat estil, aquest haurà de "predominar" a l'hora de canviar les velocitats. Però també he de tenir en compte les velocitats anteriors...
En el meu cas m'he decidit a aplicar una fórmula per calcular la nova velocitat per cada estil:
$$
v_{estil} = v_{estil} + (v_{mitjana_avui}-v_{anterior})p_{estil}.
$$
La velocitat mitjana d'avui està clara: la velocitat mitjana que he fet avui sense tenir en compte els estils que he fet servir.
La velocitat anterior (a falta d'un millor nom) és la velocitat mitjana a la que hagués anat si realment hagués anat amb les velocitats que tenia calculades del dia abans per cada estil. O sigui, que si vaig realment a aquella velocitat, la velocitat mitjana seria igual que l'anterior. I, com més diferència hi hagi entre les dues, és que estic fent un error més gran.
Per últim, la p és el tant per u de metres que he fet amb aquell estil. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ serà igual per tots els estils, però és lògic que l'estil que he utilitzat més durant el dia estigui més penalitzat a l'hora de canviar les velocitats. Això sense tenir en compte que si un dia faig totes les piscines amb el mateix estil (quin avorriment!), aleshores aquesta fórmula posarà exactament la meva velocitat en aquell estil i els altres els deixarà com estaven.
I ara la pregunta...
El mètode acabarà convergint? Comptant, és clar, que jo tingui un ritme regular que no varii massa d'un dia per l'altre.
Començant per alguna altra aproximació, el mètode també convergiria?
Sí, tot depèn de les unitats. El terme $(v_{mitjana_avui}-v_{anterior})$ pot ser molt gran depenent del que siguin aquestes velocitats... Bé, no treballaré amb velocitats (a sobre!) sinó que aquestes $v$ seran els temps (en minuts) que trigo a fer 100 metres. O sigui, que les diferències poden ser grosses.
I ara la segona pregunta...
Què passa si en algun moment tinc una velocitat negativa?
Doncs jo em mullo (jajaja), i dic que el mètode acabarà convergint (tot i que no estic segura de quantes iteracions li caldran perquè s'acosti a alguna cosa "bona"). També dic que al principi hi haurà moltes oscil.lacions però dubto que hi hagi alguna velocitat negativa. Per haver-hi alguna velocitat negativa, en algun moment s'hauria de donar el cas que la diferència entre velocitats mitjanes fos més gran que alguna velocitat per algun estil. No descarto del tot tanta variabilitat, però em sembla que no hi arribaré. Tot i així, encara que al principi varii molt, jo crec que al final acabarà tendint al que li toca.
Quan hagi fet uns quants entrenaments i tingui algunes gràfiques, ja les ensenyaré. Tot i que, em torno a mullar, no crec que acabi convergint fins cap a les 100 iteracions. I això poden ser uns quants mesos...
AVIS: Fins i tot abans de publicar el missatge (i de fer cap piscina, que no em puc donar d'alta fins al juny!) ja tinc una "millora" del mètode que no sé si és millora. La "millora" es publicarà automàticament el divendres...
dilluns, 31 de maig del 2010
dilluns, 24 de maig del 2010
Un altre final
Per seguir amb el ritme de les últimes setmanes, un altre final.
Juguen les blanques. Tenen una torre de més, però el peó d'f2 negre pot valer una torre o alguna cosa més. Poden guanyar les blanques?
Si el blanc intenta la "lògica" 1. Td1 per aturar el peó, no passarà de les taules: 1. ... Ab5 2. c4 Axc4 i si intenta 3. Ad3 Axd3 4. Ta1+ Aa6 5. b5, el negre té el recurs 5. ... f1=D 6. Txf1 Axb5, i el final resultant són taules.
Si el blanc intenta buscar el mat amb 1. Td5, tampoc passarà de les taules: 1. ... f1=D 2. Ta5+ Da6 3. Txa6+ bxa6 i el final són taules.
Aleshores, el blanc pot guanyar? Com?
Si a la primera variant, després de 5. ... f1=D, el rei negre en comptes d'estar a a8 estigués a a7 i algú defensés la casella b6, el blanc podria fer mat. Per tant, la continuació sembla lògica: 1. Rc7+ Ra7. I ara que ja tenim totes les peces on volíem, podem seguir la nostra seqüència de jugades: 2. Td1 Ab5 3. c4 Axc4 4. Ad3 Axd3 5. Ta1+ Aa6 6. b5 f1=D.
El moment clau. Amb els reis a a8 i c8, la partida és taules. La torre blanca no pot fer res davant de l'àlfil i el peó de b negres.
De la mateixa forma, si el blanc jugués 7. Txf1, el negre té taules amb 7. ... Axb5.
Però el blanc pot guanyar amb 7. Txa6+ bxa6.
I aquesta és una d'aquelles situacions còmiques en les que una dama i dos peons no poden evitar que un sol peó blanc acabi guanyant: 8. b6+ Ra8 9. b7+ Ra7 10. b8=D mat.
Juguen les blanques. Tenen una torre de més, però el peó d'f2 negre pot valer una torre o alguna cosa més. Poden guanyar les blanques?
Si el blanc intenta la "lògica" 1. Td1 per aturar el peó, no passarà de les taules: 1. ... Ab5 2. c4 Axc4 i si intenta 3. Ad3 Axd3 4. Ta1+ Aa6 5. b5, el negre té el recurs 5. ... f1=D 6. Txf1 Axb5, i el final resultant són taules.
Si el blanc intenta buscar el mat amb 1. Td5, tampoc passarà de les taules: 1. ... f1=D 2. Ta5+ Da6 3. Txa6+ bxa6 i el final són taules.
Aleshores, el blanc pot guanyar? Com?
Si a la primera variant, després de 5. ... f1=D, el rei negre en comptes d'estar a a8 estigués a a7 i algú defensés la casella b6, el blanc podria fer mat. Per tant, la continuació sembla lògica: 1. Rc7+ Ra7. I ara que ja tenim totes les peces on volíem, podem seguir la nostra seqüència de jugades: 2. Td1 Ab5 3. c4 Axc4 4. Ad3 Axd3 5. Ta1+ Aa6 6. b5 f1=D.
El moment clau. Amb els reis a a8 i c8, la partida és taules. La torre blanca no pot fer res davant de l'àlfil i el peó de b negres.
De la mateixa forma, si el blanc jugués 7. Txf1, el negre té taules amb 7. ... Axb5.
Però el blanc pot guanyar amb 7. Txa6+ bxa6.
I aquesta és una d'aquelles situacions còmiques en les que una dama i dos peons no poden evitar que un sol peó blanc acabi guanyant: 8. b6+ Ra8 9. b7+ Ra7 10. b8=D mat.
dilluns, 17 de maig del 2010
Per què vull un cavall i un peó?
En la següent posició, les blanques tenen un cavall contra un peó. Però hi ha dames... És possible que guanyin?
La natural 1. Df7+, per acabar amb els dos peons negres només dóna taules. Per exemple, 1. ... Rg4 2. Dg6+ Rf3 3. Dxf5+ Rxe2 4. Dxe4+ Rf2 i el negre aconsegueix les taules. Si el blanc intentés 3. Dh5+ Rf2 4. Dh2+ Re3, i el negre acabarà aconseguint les taules.
Però el blanc pot jugar 1. Dc7. El negre pot intentar l'escac continu amb 1. ... Df6, però aleshores el blanc pot guanyar... regalant-ho tot, menys la dama, que la necessita per fer mat!
2. g4+ fxg4. Està clar que qualsevol altre moviment porta a mat: 2. ... Rxg4 3. Df4+ Rh5 Cg3 mat. O 2. ... Rh4 3. Dh2+ Rxg4 4. Df4+ i mat a la següent. O 2. ... Rg5 3. Df4+ Rh4 4. gxf5+ Rh5 5. Ch3 mat.
3. Cg3+ Rh4. Està clar que 3. ... Rg5 perd per 4. Ce4+.
4. Ce4 Dxf5+, intentant guanyar el cavall. Tampoc era vàlida 4. ... Db2 per 5. Rg6 i no es pot evitar el mat amb la dama h2 o h7. I si 4. ... Df3 5. Dh2+ Dh3 6. Df4 i guanya.
5. Rg7 Dxe4, és la única manera d'evitar el mat amb dama i cavall.
Però ara, les blanques, tot i tenir només dama poden fer mat forçat en 3 jugades:
6. Dh2+ Rg5 7. Dh6+ Rf5 8. Df6 mat.
La natural 1. Df7+, per acabar amb els dos peons negres només dóna taules. Per exemple, 1. ... Rg4 2. Dg6+ Rf3 3. Dxf5+ Rxe2 4. Dxe4+ Rf2 i el negre aconsegueix les taules. Si el blanc intentés 3. Dh5+ Rf2 4. Dh2+ Re3, i el negre acabarà aconseguint les taules.
Però el blanc pot jugar 1. Dc7. El negre pot intentar l'escac continu amb 1. ... Df6, però aleshores el blanc pot guanyar... regalant-ho tot, menys la dama, que la necessita per fer mat!
2. g4+ fxg4. Està clar que qualsevol altre moviment porta a mat: 2. ... Rxg4 3. Df4+ Rh5 Cg3 mat. O 2. ... Rh4 3. Dh2+ Rxg4 4. Df4+ i mat a la següent. O 2. ... Rg5 3. Df4+ Rh4 4. gxf5+ Rh5 5. Ch3 mat.
3. Cg3+ Rh4. Està clar que 3. ... Rg5 perd per 4. Ce4+.
4. Ce4 Dxf5+, intentant guanyar el cavall. Tampoc era vàlida 4. ... Db2 per 5. Rg6 i no es pot evitar el mat amb la dama h2 o h7. I si 4. ... Df3 5. Dh2+ Dh3 6. Df4 i guanya.
5. Rg7 Dxe4, és la única manera d'evitar el mat amb dama i cavall.
Però ara, les blanques, tot i tenir només dama poden fer mat forçat en 3 jugades:
6. Dh2+ Rg5 7. Dh6+ Rf5 8. Df6 mat.
dilluns, 10 de maig del 2010
Juguen blanques i...
Un problemet per començar la setmana.
En aquesta posició juguen blanques. És fàcil aconseguir les taules, però... poden guanyar?
Sembla que si desapareixen els peons del flanc de dama, el blanc arribarà a menjar el peó d'h7, però el negre aconseguirà ofegar-lo. O no?
El truc està a buscar el zugzwang.
1. Re5 Rc4 (o Rc5, o Rc6). 2. Rf6, col.locant-se a la mateixa distància dels dos peons negres, mirant a veure quin menjar.
Està clar que no es pot jugar 2. ... Rxc3, perquè el blanc corona abans: 3. Rg7 d5 4. Rxh7 d4 5. Rg6 (o Rg8, però mai Rg7, per no interferir amb l'escac amb la dama) d3 6. h7 d2+ 7. h8=D+, i el blanc acaba guanyant el final.
Així doncs, l'única solució del negre és anar a "perseguir" el rei blanc, intentant ofegar-lo.
2. ... Rd5.
Al blanc no li serveix 3. Rf7 per 3. ... Re5 i si 4. Re7 d5. Si en canvi 4. Rg7 Re6, arribant a l'ofegat.
Però el blanc pot jugar 3. Re7 Rc6. No era vàlid pel negre 3. ... d6 perquè perdia un temps i quedava en zugzwang: 4. Rf7 Re5 5. Rg7 Re6 6. Rxh7 Rf7 7. c4 i el negre està en zugzwang.
Però ara sí que el blanc pot jugar 4. Rf7 i el blanc està guanyat.
Si el negre juga 4. ... Rd6 5. c4
I el blanc guanya amb 5. ... Re5 6. Rg7 Re6 (com abans, si va a buscar el peó de c, perd). 7. Rxh7 Rf7 8. c5 zugzwang.
Si en canvi el negre juga 4. ... Rd5,
El blanc guanya amb 5. Rf6. I, a part dels casos que ja s'han tractat abans (Rd6, Rc4), al negre només li queda l'opció de 5. ... d6 6. Rg7 Re6 7. Rxh7 Rf7 8. c4, i altre cop el negre està en zugzwang.
En aquesta posició juguen blanques. És fàcil aconseguir les taules, però... poden guanyar?
Sembla que si desapareixen els peons del flanc de dama, el blanc arribarà a menjar el peó d'h7, però el negre aconseguirà ofegar-lo. O no?
El truc està a buscar el zugzwang.
1. Re5 Rc4 (o Rc5, o Rc6). 2. Rf6, col.locant-se a la mateixa distància dels dos peons negres, mirant a veure quin menjar.
Està clar que no es pot jugar 2. ... Rxc3, perquè el blanc corona abans: 3. Rg7 d5 4. Rxh7 d4 5. Rg6 (o Rg8, però mai Rg7, per no interferir amb l'escac amb la dama) d3 6. h7 d2+ 7. h8=D+, i el blanc acaba guanyant el final.
Així doncs, l'única solució del negre és anar a "perseguir" el rei blanc, intentant ofegar-lo.
2. ... Rd5.
Al blanc no li serveix 3. Rf7 per 3. ... Re5 i si 4. Re7 d5. Si en canvi 4. Rg7 Re6, arribant a l'ofegat.
Però el blanc pot jugar 3. Re7 Rc6. No era vàlid pel negre 3. ... d6 perquè perdia un temps i quedava en zugzwang: 4. Rf7 Re5 5. Rg7 Re6 6. Rxh7 Rf7 7. c4 i el negre està en zugzwang.
Però ara sí que el blanc pot jugar 4. Rf7 i el blanc està guanyat.
Si el negre juga 4. ... Rd6 5. c4
I el blanc guanya amb 5. ... Re5 6. Rg7 Re6 (com abans, si va a buscar el peó de c, perd). 7. Rxh7 Rf7 8. c5 zugzwang.
Si en canvi el negre juga 4. ... Rd5,
El blanc guanya amb 5. Rf6. I, a part dels casos que ja s'han tractat abans (Rd6, Rc4), al negre només li queda l'opció de 5. ... d6 6. Rg7 Re6 7. Rxh7 Rf7 8. c4, i altre cop el negre està en zugzwang.
divendres, 7 de maig del 2010
dilluns, 3 de maig del 2010
Estudi d'en Herbstmann
La següent posició correspon a un estudi d'en Herbstmann. Les blanques tenen un peó a f7, a punt de coronar, i un altre a d6, també molt a prop de la coronació. L'estudi diu: juguen blanques i guanyen.
Així que la qüestió no és tan senzilla. Està clar que el blanc no pot coronar directament el peó d'f7, perquè el negre té un peó a a2 que també corona, i a més, ho fa amb escac.
Si el blanc es menja el peó d'a2, aleshores no pot escapar-se de les taules per escac continu: 1. Rxa2 f5 (tancant la sortida del rei) 2. f8=D Ta5+ 3. Rb3 Tb5+ 4. Rc4 Tc5+ 5. Rd4 Td5+
La torre negra té recolzament dels peons per fer escac a a5, b5, c5 i d5, i el rei blanc no pot arribar a la columna e, perquè entre el rei i el peó d'f5 no pot passar.
Tot i així, després d'f5, quan el negre tanca el pas al rei blanc, el blanc segueix tenint el peó a f7, així que pot intentar 1. Rxa2 f5 2. Ta7, per evitar el primer escac a a5. Al cap i a la fi, sembla que el negre no pot arribar a controlar f8.
En aquest cas, però, l'escac continu arriba per una altra banda: 2. ... Te5! 3. f8=D i el negre es dedicarà a fer escacs per la columna e. Les caselles e1, e2 i e3 estan controlades pel rei, mentre que e4 està controlada pel peó d'f5. El rei negre no té on amagar-se, ja que la cinquena fila està controlada pels peons de b6 i c6.
La cosa, doncs, sembla complicada. Hem d'evitar que el peó d'a2 entri, i a més, hem d'evitar l'escac continu. Tornem a la posició inicial:
La solució és 1. Rb2! En cas de que ens juguin 1. ... Tb5, podem jugar 2. Ra1 i s'han acabat els escacs continus, perquè el negre no té temps de posar la torre bé i jugar f5 en una sola jugada.
Per tant, el negre només pot jugar 1. ... a1=D+ 2. Rxa1.
Sembla el mateix que abans, però ara 2. ... f5 no funciona, perquè el blanc pot jugar 3. Ta7 i com que ara el rei blanc està a a1 en comptes d'a2, si el negre intenta 3. ... Te5 per fer escac continu, el blanc pot jugar 4. Ta2+ i el rei ha de deixar de defensar o bé e1 o bé e3, i el rei blanc s'escapa dels escacs, com per exemple en el cas de la següent posició, on el negre menja la torre d'a2, però el blanc no tindrà massa problemes a guanyar.
Així doncs, al negre només li queda l'opció de 2. ... Ta5+ 3. Rb2
I aquest cop 3. ... f5 no serveix per 3. Ta7! Txa7 4. f8=D Ta5 5. d7 i el blanc guanya. Quan el negre faci escac amb la torre a c5, el blanc només haurà de jugar Dxc5, coronant el peó de d7 a la següent jugada.
El negre pot intentar 3. ... Tb5+, però ara li falta el temps de l'f5 que ha jugat abans. La partida podria seguir 4. Rc3 Td5+ 5. Rd5. Si ara es seguís amb els escacs, el blanc s'escaparia per e4. Però, serveix 5. ... f5 per intentar altre cop l'escac continu?
Doncs la resposta és que no. El blanc pot jugar 6. Ta7, per evitar l'escac a a5. Tot i així, ens hem de recordar de la maniobra anterior per evitar l'escac per la columna e: 6. ... Td5+ 7. Rc3 Tc5+ 8. Rb2 Tb5+ 9. Ra1 Te5, i aprofitant que hem portat el rei fins a a1, aleshores 10. Ta2+, guanyant.
Així que la qüestió no és tan senzilla. Està clar que el blanc no pot coronar directament el peó d'f7, perquè el negre té un peó a a2 que també corona, i a més, ho fa amb escac.
Si el blanc es menja el peó d'a2, aleshores no pot escapar-se de les taules per escac continu: 1. Rxa2 f5 (tancant la sortida del rei) 2. f8=D Ta5+ 3. Rb3 Tb5+ 4. Rc4 Tc5+ 5. Rd4 Td5+
La torre negra té recolzament dels peons per fer escac a a5, b5, c5 i d5, i el rei blanc no pot arribar a la columna e, perquè entre el rei i el peó d'f5 no pot passar.
Tot i així, després d'f5, quan el negre tanca el pas al rei blanc, el blanc segueix tenint el peó a f7, així que pot intentar 1. Rxa2 f5 2. Ta7, per evitar el primer escac a a5. Al cap i a la fi, sembla que el negre no pot arribar a controlar f8.
En aquest cas, però, l'escac continu arriba per una altra banda: 2. ... Te5! 3. f8=D i el negre es dedicarà a fer escacs per la columna e. Les caselles e1, e2 i e3 estan controlades pel rei, mentre que e4 està controlada pel peó d'f5. El rei negre no té on amagar-se, ja que la cinquena fila està controlada pels peons de b6 i c6.
La cosa, doncs, sembla complicada. Hem d'evitar que el peó d'a2 entri, i a més, hem d'evitar l'escac continu. Tornem a la posició inicial:
La solució és 1. Rb2! En cas de que ens juguin 1. ... Tb5, podem jugar 2. Ra1 i s'han acabat els escacs continus, perquè el negre no té temps de posar la torre bé i jugar f5 en una sola jugada.
Per tant, el negre només pot jugar 1. ... a1=D+ 2. Rxa1.
Sembla el mateix que abans, però ara 2. ... f5 no funciona, perquè el blanc pot jugar 3. Ta7 i com que ara el rei blanc està a a1 en comptes d'a2, si el negre intenta 3. ... Te5 per fer escac continu, el blanc pot jugar 4. Ta2+ i el rei ha de deixar de defensar o bé e1 o bé e3, i el rei blanc s'escapa dels escacs, com per exemple en el cas de la següent posició, on el negre menja la torre d'a2, però el blanc no tindrà massa problemes a guanyar.
Així doncs, al negre només li queda l'opció de 2. ... Ta5+ 3. Rb2
I aquest cop 3. ... f5 no serveix per 3. Ta7! Txa7 4. f8=D Ta5 5. d7 i el blanc guanya. Quan el negre faci escac amb la torre a c5, el blanc només haurà de jugar Dxc5, coronant el peó de d7 a la següent jugada.
El negre pot intentar 3. ... Tb5+, però ara li falta el temps de l'f5 que ha jugat abans. La partida podria seguir 4. Rc3 Td5+ 5. Rd5. Si ara es seguís amb els escacs, el blanc s'escaparia per e4. Però, serveix 5. ... f5 per intentar altre cop l'escac continu?
Doncs la resposta és que no. El blanc pot jugar 6. Ta7, per evitar l'escac a a5. Tot i així, ens hem de recordar de la maniobra anterior per evitar l'escac per la columna e: 6. ... Td5+ 7. Rc3 Tc5+ 8. Rb2 Tb5+ 9. Ra1 Te5, i aprofitant que hem portat el rei fins a a1, aleshores 10. Ta2+, guanyant.
dilluns, 26 d’abril del 2010
El termòmetre de Galileu
L'altre dia em van regalar un termòmetre de Galileu.
Què és aquest termòmetre i com funciona?
El termòmetre és un tub vertical que conté aigua i unes boles de colors, que van etiquetades amb uns números. De les boles que queden a dalt, la més petita indica a quina temperatura estem.
Per funcionar utilitza dos principis físics:
- El primer, el principi d'Arquímedes, que fa que els cossos més densos s'enfonsin a l'aigua i els menys densos surin.
- El segon, un efecte que va descobrir Galileu: la densitat dels líquids varia depenent de la temperatura. Com més calent està el líquid, menys densitat té.
Així, el meu termòmetre, que indica temperatures entre 18 i 28 graus, té 6 boles. Una d'elles té la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus. La segona, la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus, i així anar pujant, de dos en dos, fins arribar a la última, que té una densitat de 29 graus.
Segons la caixa, entre una bola i l'altra, hi ha una diferència de només 0.06 grams!!!
I aleshores, com funciona?
M'imagino que estem a 20 graus. La bola que indica els 18 (que està a la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus) és més densa que l'aigua, i per tant s'enfonsa. La següent bola (la que indica 20 graus, i que està a la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus) és menys densa i per tant sura. Així doncs, a dalt tinc una bola que m'indica que la temperatura és de 20 graus.
Si la temperatura és de 21 graus, la bola que indica 20 té la mateixa densitat que l'aigua. Aleshores, a dalt (el que indica la temperatura) és el que indica 22 graus. Però el que indica 20 graus no està a baix, i per tant la temperatura està entre 20 i 22 graus, o sigui, 21.
Si la temperatura és de 22 graus, la bola del 20 baixa i es queda la del 22 a dalt.
I així, utilitzant dos principis físics, es pot saber la temperatura.
Què és aquest termòmetre i com funciona?
El termòmetre és un tub vertical que conté aigua i unes boles de colors, que van etiquetades amb uns números. De les boles que queden a dalt, la més petita indica a quina temperatura estem.
Per funcionar utilitza dos principis físics:
- El primer, el principi d'Arquímedes, que fa que els cossos més densos s'enfonsin a l'aigua i els menys densos surin.
- El segon, un efecte que va descobrir Galileu: la densitat dels líquids varia depenent de la temperatura. Com més calent està el líquid, menys densitat té.
Així, el meu termòmetre, que indica temperatures entre 18 i 28 graus, té 6 boles. Una d'elles té la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus. La segona, la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus, i així anar pujant, de dos en dos, fins arribar a la última, que té una densitat de 29 graus.
Segons la caixa, entre una bola i l'altra, hi ha una diferència de només 0.06 grams!!!
I aleshores, com funciona?
M'imagino que estem a 20 graus. La bola que indica els 18 (que està a la mateixa densitat que l'aigua a 19 graus) és més densa que l'aigua, i per tant s'enfonsa. La següent bola (la que indica 20 graus, i que està a la mateixa densitat que l'aigua a 21 graus) és menys densa i per tant sura. Així doncs, a dalt tinc una bola que m'indica que la temperatura és de 20 graus.
Si la temperatura és de 21 graus, la bola que indica 20 té la mateixa densitat que l'aigua. Aleshores, a dalt (el que indica la temperatura) és el que indica 22 graus. Però el que indica 20 graus no està a baix, i per tant la temperatura està entre 20 i 22 graus, o sigui, 21.
Si la temperatura és de 22 graus, la bola del 20 baixa i es queda la del 22 a dalt.
I així, utilitzant dos principis físics, es pot saber la temperatura.
dilluns, 19 d’abril del 2010
Tria com vols la dama de més
Avui toca una partida de l'any 1994 entre en Karpov i en Korchnoi.
Juguen les negres. El peó blanc d'f6 és molt perillós, està a punt d'entrar, però tot i així en Korchnoi juga 1. ... Ah6. Per què? Doncs perquè té una idea en ment:
2. f7 Axf4.
I ara què?
Doncs ara mateix, el negre ofereix una dama de dues maneres diferents. D'una banda, el blanc pot coronar cavall i, després del doble, menjar-se la dama. De l'altra, el blanc pot coronar dama i quedar-se amb dues dames contra una.
Però, és clar, a ningú se li passa pel cap que en Korchnoi pugui cometre un error així... i si l'hagués comés, no hi hauria post...
En efecte, el blanc no pot coronar cavall i menjar la dama, perquè després de 3. f8=C+ Rh6 4. Cxe6, troba mat després de 4. ... Axe3+ 5. Rh1 Tb1 i no pot evitar Txf1 mat.
A la partida, en Karpov va coronar dama, per quedar-se amb la versió de dama de més de dues dames contra una. La partida va seguir:
3. f8=D Axe3+ 4. Rh1 Ah6 5. Df2 Ag7.
En aquests moments, el negre té torre, àlfil i un peó per la dama. Sembla que la posició hauria d'estar més o menys igualada a material. Però...
El problema del blanc és que les dues dames es fan nosa una a l'altra. Qui no hagi jugat mai amb dues dames, potser no ho entèn, però jo recordo una partida on vaig coronar i vaig acabar jugant un final de dues dames contra dama i torre i va ser complicadet.
En Karpov va seguir jugant, però de seguida la posició li va caure pel seu propi pes.
6. a6 Tf3. El negre, com que té dues dames per atacar, pot anar atacant-les i guanyant temps.
7. De1 Axa6 8. Ae2 Tf7 9. Dc5 c3 10. Dcxc3 Axe2 11. Dxe2 Df6 12. Dc1 Ah6 13. Db1 Df5 14. Rg1 Tc7. I, tot i tenir dues dames, en aquesta posició, les blanques van abandonar.
El blanc no pot evitar Tc1, que deixa el negre amb avantatge decisiu.
Juguen les negres. El peó blanc d'f6 és molt perillós, està a punt d'entrar, però tot i així en Korchnoi juga 1. ... Ah6. Per què? Doncs perquè té una idea en ment:
2. f7 Axf4.
I ara què?
Doncs ara mateix, el negre ofereix una dama de dues maneres diferents. D'una banda, el blanc pot coronar cavall i, després del doble, menjar-se la dama. De l'altra, el blanc pot coronar dama i quedar-se amb dues dames contra una.
Però, és clar, a ningú se li passa pel cap que en Korchnoi pugui cometre un error així... i si l'hagués comés, no hi hauria post...
En efecte, el blanc no pot coronar cavall i menjar la dama, perquè després de 3. f8=C+ Rh6 4. Cxe6, troba mat després de 4. ... Axe3+ 5. Rh1 Tb1 i no pot evitar Txf1 mat.
A la partida, en Karpov va coronar dama, per quedar-se amb la versió de dama de més de dues dames contra una. La partida va seguir:
3. f8=D Axe3+ 4. Rh1 Ah6 5. Df2 Ag7.
En aquests moments, el negre té torre, àlfil i un peó per la dama. Sembla que la posició hauria d'estar més o menys igualada a material. Però...
El problema del blanc és que les dues dames es fan nosa una a l'altra. Qui no hagi jugat mai amb dues dames, potser no ho entèn, però jo recordo una partida on vaig coronar i vaig acabar jugant un final de dues dames contra dama i torre i va ser complicadet.
En Karpov va seguir jugant, però de seguida la posició li va caure pel seu propi pes.
6. a6 Tf3. El negre, com que té dues dames per atacar, pot anar atacant-les i guanyant temps.
7. De1 Axa6 8. Ae2 Tf7 9. Dc5 c3 10. Dcxc3 Axe2 11. Dxe2 Df6 12. Dc1 Ah6 13. Db1 Df5 14. Rg1 Tc7. I, tot i tenir dues dames, en aquesta posició, les blanques van abandonar.
El blanc no pot evitar Tc1, que deixa el negre amb avantatge decisiu.
divendres, 16 d’abril del 2010
Quina forma tenen les monedes de 20 i 50 penics?
Aquesta imatge és d'una moneda de 20 penics:
I aquesta altra, d'una de 50 penics:
Què tenen de particular aquestes dues monedes?
A les imatges està clar que les dues monedes no són cercles. No és que s'hagin "trencat" i que per això tinguin aquesta forma: ja en un principi eren així.
Però una dels avantatges de les monedes circulars és que, en posar-les a les màquines, tots els diàmetres són iguals, i es pot comprovar més fàcilment quines monedes són i si són falses (bé, més o menys).
Aleshores, els anglesos tenen unes monedes que no els serveixen per les màquines o és que són més espavilats que la resta?
Les dues monedes en realitat són heptàgons de Reuleaux. Són part d'una família de figures anomenades polígons de Reuleaux que compleixen que, se'ls miri per on se'ls miri, sempre tenen el mateix diàmetre.
D'aquesta família també són molt coneguts els triangles de Reuleaux, que compleixen que són la figura amb menys àrea que compleix la condició de que mirant des de qualsevol punt tinguin el mateix diàmetre.
Per això s'utilitzen sovint com a tapes per a claveguera.
És clar que una aplicació força friki dels polígons de Reuleaux seria aquesta bici:
A la roda de davant hi ha un pentàgon de Reuleaux i a la de darrere, un triangle. No sé si m'atreviria a portar-la...
I aquesta altra, d'una de 50 penics:
Què tenen de particular aquestes dues monedes?
A les imatges està clar que les dues monedes no són cercles. No és que s'hagin "trencat" i que per això tinguin aquesta forma: ja en un principi eren així.
Però una dels avantatges de les monedes circulars és que, en posar-les a les màquines, tots els diàmetres són iguals, i es pot comprovar més fàcilment quines monedes són i si són falses (bé, més o menys).
Aleshores, els anglesos tenen unes monedes que no els serveixen per les màquines o és que són més espavilats que la resta?
Les dues monedes en realitat són heptàgons de Reuleaux. Són part d'una família de figures anomenades polígons de Reuleaux que compleixen que, se'ls miri per on se'ls miri, sempre tenen el mateix diàmetre.
D'aquesta família també són molt coneguts els triangles de Reuleaux, que compleixen que són la figura amb menys àrea que compleix la condició de que mirant des de qualsevol punt tinguin el mateix diàmetre.
Per això s'utilitzen sovint com a tapes per a claveguera.
És clar que una aplicació força friki dels polígons de Reuleaux seria aquesta bici:
A la roda de davant hi ha un pentàgon de Reuleaux i a la de darrere, un triangle. No sé si m'atreviria a portar-la...
¿Qué forma tienen las monedas de 20 y 50 peniques?
Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar al segon Carnaval de matemáticas.
Esta imagen es de una moneda de 20 peniques:
Y esta otra, de una de 50 peniques:
¿Qué tienen de particular estas dos monedas?
En las imágenes se ve claro que las dos monedas no son círculos. No es que se hayan "roto" y que por eso tengan esta forma: ya en un principio eran así.
Pero una de las ventajas de las monedas circulares es que, cuando se ponen en las máquinas, todos los diámetros son iguales, y se puede comprobar fácilmente qué monedas son y si son falsas (bueno, más o menos).
Entonces, ¿los ingleses tienen unas monedas que no les sirven para las máquinas o es que son más espavilados que el resto?
Las dos monedas en realidad son heptágonos de Reuleaux. Forman parte de una família de figuras llamadas polígonos de Reuleaux que cumplen que, se los mire por dónde se los mire, siempre tienen el mismo diámetro.
De esta família también son muy conocidos los triángulos de Reuleaux, que cumplen que son la figura con menos área que cumple la condición de que mirando desde cualquier punto tienen el mismo diámetro.
Por esto se usan bastante como tapas de alcantarilla.
Claro que una aplicación un poco friki de los polígonos de Reuleaux seria esta bici:
En la rueda de delante hay un pentágono de Reuleaux y en la de detrás, un triángulo. No sé si me atrevería a llevarla...
Subscriure's a:
Missatges (Atom)