Juguen blanques i guanyen

 Tornem als finals.

 Les blanques tenen una peça de més (per uns quants peons), però el negre té dos peons a punt de coronar.

 Com s'ho fan les blanques per guanyar?

Solució del problema anterior:

La partida pertany a un dels desempats de la ronda 4 del World Chess Cup d'aquest any, entre la Judit Polgar (blanques) i en Leinier Dominguez. La Judit ha sacrificat una peça per atac (no era massa clar...), però es troba en aquesta posició, que pot guanyar. Com?

1. Dh6 l'amenaça és 2. Th8+ Axh8 3. Ce7 mat. També amenaça 2. Cxf6. El negre va jugar 1. ... Ad8, que para les dues amenaces principals... però entra en xarxa de mat. Les "millors" opcions que tenia el negre eren "deixar-se" la dama amb Te8 o De5, que permetien 2. Cxf6+ Dxf6 3. Dxf6 Rxh7 4. Dxg5, que els deixa amb peça contra dama...

2. e5, i l'amenaça de mat amb Th8 és massa forta. La partida va continuar 2. ... Tg1+ 3. Rxg1 Dd4+ 4. Rf1, i un cop acabats els escacs del negre, el mat és inevitable.

Bellesa

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics... It may be very hard to define mathematical beauty, but that is just as true of beauty of any kind- we may not know quite what we mean by a beautiful poem, but that does not prevent us from recongnizing one when we read it.

                                                               G. H. Hardy

Juguen blanques i guanyen

 Anem a partides actuals... Juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior:

 El blanc pot fer un mat molt maco, o com a mínim, molt espectacular:

  1. Tb7 Dxb7 (sinó, a part de perdre la dama, el mat encara arriba més ràpid).

  2. Axg6+ Rxg6 3. Dg8+ Rxf5 (les altres opcions encara troben el mat més ràpidament: 3. ... Rh5 4. Txh4 mat, o bé 3. ... Dg7 4. Dxg7+ Rxf5 5. Dg4+ Re5 6. Te4+ dxe4 7. Dxe4 mat)

  4. Dg4+ Re5 5. Dh5+ Tf5 ( si 5. ... f5 6. Dh8+, seguit de mat).

  6. f4+ Axf4 (si 6. ... Cxf4 7. Te4+ dxe4 8. d4 mat)

  7. Dxe2+ Axe2 8. Te4+ dxe4 9. d4 mat

 Bonic mat, veritat?

Juguen blanques i guanyen

 Torna el setembre, i tornen els problemes. En aquest cas, juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior:



1. Axb6 Axb6 2. a5 Ad8. 2. ... Ac7 té un resultat semblant, i si l'àlfil surt de la diagonal a5-d8, el blanc guanya fàcil amb c7.

3. b5 axb5 (sinó, després de bxa6, el blanc corona) 4. a6, i l'àlfil negre no pot parar a la vegada els peons d'a i c.

Juguen blanques i guanyen

Aquesta vegada el problema és bastant més senzill que en anteriors vegades. Juguen blanques, i guanyen (poques jugades, i sense variants rares!)

Solució del problema anterior:



Està clar que 1. Txa2 no serveix per 1. ... Txa2 2. g8=D Th2+, guanyant la dama a la següent.

La solució és 1. g8=D Txg8 2. Rxg8 c2



Ara el rei negre està més a prop dels peons que el rei blanc. Podrà arribar a recolzar-los?

3. Rg7 Re6 4. Rg6 Re5 5. Rg5 Re4 6. Rg4 Re3 7. Rg3 Rd3



Està clar que 7. ... Rd2 simplificava la vida al blanc, que podia jugar 8. Txa2, seguit de 9. Txc2.

8. Rf3 Rc3 9. Re3 Rb2 10. Rd2 Rxa1 11. Rc1... ofegat!

Juguen blanques i fan taules

A la següent posició, juguen les blanques i fan taules... però potser no és tan senzill com sembla...


Solució del problema anterior:



El blanc té 3 peons a punt d'entrar (o gairebé 4), però si no vigila, el negre li està fent mat per tots cantons. Començant per 1. ... Dxb1, i acabant per 1. Te1 De4+ 2. Txe4 Ta1.

Al blanc no li queda res més que dedicar-se a fer escacs... però els ha de fer bé.

1. d6+ Rxd6. Si el negre no mengés i jugués 1. ... Rd7, aleshores és el blanc qui guanya, amb 2. e8=D+ Txe8 3. Tb7+.

2. Td1+ Rxe7 3. f8=D+ Txf8.



Al blanc ja només li queda un peó per coronar i decideix coronar... cavall!

4. Td7+ Rxd7. El negre podria evitar l'entrada amb doble, però no hi guanyaria res. Per exemple, 4. ... Re8 5. gxf8=D+ Rxd7 6. Dg7+, i ofegat.

5. gxf8=C+ Re7 6. Cxa7 c4



Pot el cavall blanc parar el peó de c?

No, no pot. Però pot fer de les seves...

7. Cc5 c3 8. Cf3 c2 9. Cg1. I ara, si el negre entra dama o torre ofega el blanc. I sinó, el blanc té temps de jugar Ce2, parant el peó...

Juguen blanques... i fan taules!

Reconec que el problema d'aquesta setmana no és senzill. Però m'ha agradat tant que no he pogut resistir la temptació... Juguen blanques i... fan taules!

Solució del problema anterior:



Per guanyar, el negre primer ha d'acostar el rei: 1. ... Re5 2. Rf7 Rf5 3. Rg7, i ara ha d'anar amb compte, perquè 3. ... Rg4 no serveix per 4. Rh6. Però el que si que serveix és 3. ... h4! 4. gxh4 h5 i el negre es menjarà el peó d'h4 mentre defensa el seu propi peó d'h5. El blanc no pot arribar a temps a f2. Per exemple: 5. Rf7 Rg4 6. Rf6 Rxh4 7. Rf5 Rg3.

Mosques a canonades...

M'agraden els problemes de MAA MinuteMath. A vegades són molt fàcils, però n'hi ha que fan pensar, com el que va sortir fa uns dies:

Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:



Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.

El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.

La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)

La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és

$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.

La del segon,

$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,

i la del tercer,

$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.

La del gran és:

$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.

I anar fent...

Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...



Un triangle rectangle. I ja està!

$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.

Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...

Juguen negres i guanyen

Juguen negres. Tenen un peó de més, però està doblat, és a la columna de torre, i a sobre no està ni passat. Però... poden guanyar. Com?


Solució del problema anterior:



El negre amenaça mat amb 1. ... g3+, i si 2. Rh3 g4 mat, o si 2. Rh1(g1) Te1 mat. Per tant, el blanc ha d'evitar aquest mat.

No serveix 1. g3, perquè aleshores el negre aconsegueix escac continu: 1. ... Te8 2. d7 Td8 3. Td6 Tf8! 4. d8=D Tf2, amb escac continu o, si el blanc es menja la torre, ofegat.

Així doncs, el blanc ha d'evitar el mat d'alguna altra forma, que eviti aquest escac continu: 1. Td5 (permet escapar-se per h4, ja que el peó de g5 està clavat). 1. ... Te8. Si el negre intentés 1. ... Rh4 per seguir amenaçant mat, n'hi hauria prou amb 2. g3+, i el blanc podria coronar sense patir per l'ofegat. 2. d7 Td8 3. Td6, i ara ja no hi ha ofegat.

Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?

Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.

Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.

Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?



Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?

Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?

Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que

$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$

el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.

Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?

Doncs precisament la hipèrbola!

Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.