Juguen blanques i guanyen

Aquesta vegada el problema és bastant més senzill que en anteriors vegades. Juguen blanques, i guanyen (poques jugades, i sense variants rares!)

Solució del problema anterior:



Està clar que 1. Txa2 no serveix per 1. ... Txa2 2. g8=D Th2+, guanyant la dama a la següent.

La solució és 1. g8=D Txg8 2. Rxg8 c2



Ara el rei negre està més a prop dels peons que el rei blanc. Podrà arribar a recolzar-los?

3. Rg7 Re6 4. Rg6 Re5 5. Rg5 Re4 6. Rg4 Re3 7. Rg3 Rd3



Està clar que 7. ... Rd2 simplificava la vida al blanc, que podia jugar 8. Txa2, seguit de 9. Txc2.

8. Rf3 Rc3 9. Re3 Rb2 10. Rd2 Rxa1 11. Rc1... ofegat!

Juguen blanques i fan taules

A la següent posició, juguen les blanques i fan taules... però potser no és tan senzill com sembla...


Solució del problema anterior:



El blanc té 3 peons a punt d'entrar (o gairebé 4), però si no vigila, el negre li està fent mat per tots cantons. Començant per 1. ... Dxb1, i acabant per 1. Te1 De4+ 2. Txe4 Ta1.

Al blanc no li queda res més que dedicar-se a fer escacs... però els ha de fer bé.

1. d6+ Rxd6. Si el negre no mengés i jugués 1. ... Rd7, aleshores és el blanc qui guanya, amb 2. e8=D+ Txe8 3. Tb7+.

2. Td1+ Rxe7 3. f8=D+ Txf8.



Al blanc ja només li queda un peó per coronar i decideix coronar... cavall!

4. Td7+ Rxd7. El negre podria evitar l'entrada amb doble, però no hi guanyaria res. Per exemple, 4. ... Re8 5. gxf8=D+ Rxd7 6. Dg7+, i ofegat.

5. gxf8=C+ Re7 6. Cxa7 c4



Pot el cavall blanc parar el peó de c?

No, no pot. Però pot fer de les seves...

7. Cc5 c3 8. Cf3 c2 9. Cg1. I ara, si el negre entra dama o torre ofega el blanc. I sinó, el blanc té temps de jugar Ce2, parant el peó...

Juguen blanques... i fan taules!

Reconec que el problema d'aquesta setmana no és senzill. Però m'ha agradat tant que no he pogut resistir la temptació... Juguen blanques i... fan taules!

Solució del problema anterior:



Per guanyar, el negre primer ha d'acostar el rei: 1. ... Re5 2. Rf7 Rf5 3. Rg7, i ara ha d'anar amb compte, perquè 3. ... Rg4 no serveix per 4. Rh6. Però el que si que serveix és 3. ... h4! 4. gxh4 h5 i el negre es menjarà el peó d'h4 mentre defensa el seu propi peó d'h5. El blanc no pot arribar a temps a f2. Per exemple: 5. Rf7 Rg4 6. Rf6 Rxh4 7. Rf5 Rg3.

Mosques a canonades...

M'agraden els problemes de MAA MinuteMath. A vegades són molt fàcils, però n'hi ha que fan pensar, com el que va sortir fa uns dies:

Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:



Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.

El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.

La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)

La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és

$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.

La del segon,

$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,

i la del tercer,

$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.

La del gran és:

$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.

I anar fent...

Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...



Un triangle rectangle. I ja està!

$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.

Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...

Juguen negres i guanyen

Juguen negres. Tenen un peó de més, però està doblat, és a la columna de torre, i a sobre no està ni passat. Però... poden guanyar. Com?


Solució del problema anterior:



El negre amenaça mat amb 1. ... g3+, i si 2. Rh3 g4 mat, o si 2. Rh1(g1) Te1 mat. Per tant, el blanc ha d'evitar aquest mat.

No serveix 1. g3, perquè aleshores el negre aconsegueix escac continu: 1. ... Te8 2. d7 Td8 3. Td6 Tf8! 4. d8=D Tf2, amb escac continu o, si el blanc es menja la torre, ofegat.

Així doncs, el blanc ha d'evitar el mat d'alguna altra forma, que eviti aquest escac continu: 1. Td5 (permet escapar-se per h4, ja que el peó de g5 està clavat). 1. ... Te8. Si el negre intentés 1. ... Rh4 per seguir amenaçant mat, n'hi hauria prou amb 2. g3+, i el blanc podria coronar sense patir per l'ofegat. 2. d7 Td8 3. Td6, i ara ja no hi ha ofegat.

Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?

Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.

Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.

Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?



Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?

Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?

Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que

$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$

el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.

Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?

Doncs precisament la hipèrbola!

Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.

Juguen blanques i guanyen

En aquesta posició juguen les blanques. Tenen un peó de menys, i el negre amenaça mat amb 1. ... g3. Però el peó de d6 és fort i poden guanyar... si vigilen de no caure en l'escac continu!

Solució del problema anterior:



1. Cd6+ Rb8

L'opció 1. ... Rc7 està clar que perd per 2. Ce8+, guanyant la dama.

També perd 1. ... Rd8, per 2. h8=D+ Dxh8 3. Cf7+, guanyant la dama (quedant-se amb torre de més).

Per tant, la única opció és anar cap al racó. Però llavors...

2. Tb1+ Ra8 3. Ce8



El blanc amenaça la dama i mat amb Cc7.

3. ... Dg3+ 4. Ra4 Ad4, que atura el peó amb l'àlfil i el mat amb la dama.

Però... Les diagonals de l'àlfil i la dama convergeixen a e5, el que dóna lloc a un tema d'obstrucció:

5. e5. I si ara 5. ... Dxe5 6. h8=D, i la dama no es pot menjar pel mat amb el Cc7. Per tant, només queda 5. ... Axe5 6. Cc7+ Axc7 7. h8=D+ Ab8 8. Dh1+

Enigmàlia

Fa uns anys, un concurs anomenat Enigmàlia ens va fer pensar.

Ara ens porta una bona notícia: A partir d'aquesta setmana, tornen els Enigmes! N'hi haurà un cada dues o tres setmanes. I segur que són tan recomanables com els de fa 3-4 anys!

Que comenci el joc!

Juguen blanques i guanyen

Solució del problema anterior:



Tal com deia l'enunciat, el blanc primer ha d'aturar el peó d'a3, i llavors s'ha de preocupar de parar el peó d'h.

El primer que se'ns podria acudir, que seria anar a parar el peó (i menjar-lo) portant el cavall a b3 no funciona per un temps:

1. Ra4 a2 2. Cd2+ Rd5 3. Cb3 h5 4. e6 Rd6 (és important parar el peó, però sense menjar-lo, que donaria al blanc un temps al fer escac amb el cavall) 5. Ra3 h4 6. Rxa2 h3 (si el rei s'hagués menjat el peó, ara el blanc guanyaria un temps amb Cd4+) 7. Cd2 h2 8. Ce4+ Rxe6 9. Cf2 Rf5 10. Rb3 Rf4 11. Rc4 Rf3 12. Ch1 Rg2 13. Rd3 Rxh1, i el negre guanya per un temps, perquè el blanc no pot anar a g2, ofegant el negre.

Per tant, aquest pla no ens serveix i caldrà buscar-ne un altre.

La solució ve mitjançant 1. Cd2+ Rd5 2. Cb1 amenaça el peó d'a3 i juga amb el doble.

Si ara el negre intenta avançar el peó d'h, el blanc arriba sense problemes a parar-lo: 2... h5 3. Cxa3 h4 4. Cc2 h3 5. Ce3+.

El negre pot posar en més compromís al blanc si avança el peó: 2. ... a2 3. Cc3+ Rxe5 4. Cxa2 i ara es tracta de saber si el cavall blanc podrà aturar el peó.



Si ara el negre avancés el peó, permetria que el blanc arribés ràpid al peó, amb Cc3-e2-g1. Per això el negre juga 4. ... Rd4, i el blanc ha de buscar un altre camí.

5. Cb4 h5 6. Cc2+ Re4.



I ara la jugada guanyadora és sorprenent:

7. Ca3. On va aquest cavall? Doncs el seu objectiu és arribar a f1, i com que per e3 no hi pot anar... hi anirà per d2.

7. ... h4 8. Cc4 h3 9. Cd2+ Rf4 10. Cf1, i el negre no pot entrar el peó.

Juguen blanques i fan taules

El blanc té una peça de més (per un peó), però el negre té un perillós peó a a3, a punt d'entrar... El blanc haurà d'usar el cavall per aturar-lo, però després de fer-ho, com podrà aturar el peó de la columna h?

Solució del problema anterior:



1. a8=D. Si s'hagués jugat 1. axb8=D+ Cxb8 2. Rxb8 Rd3, i el negre aconsegueix les taules d'una forma molt semblant a una variant posterior.

1. ... Cb6+ 2. Rxb8 Cxa8 3. Rb7!

Aquesta és la jugada que fa guanyar la partida. Si 3. Rxa8 b2, i són taules (de la mateixa manera que en el cas següent).

3. ... b2 4. Td1, jugada que guanya.

Si el blanc hagués jugat 4. Tg1, el negre feia taules amb 4. ... Rc5 5. Rxa8 Rd4 6. g5 Re3 7. Tb1 Rd3 8. Tg1 Re3 i repetició de jugades. En aquesta posició final:



el blanc només pot anar amb la torre de b1 a g1, perquè si no fa això, el rei negre es col.larà per f2 o g2, aconseguint la victòria.

Així, si tornem a la posició original després de 4. Td1,



el negre no pot anar a la columna d i perd un temps: 4. ... Rc3 5. Tg1 Rd4 6. g5 Re3 7. Tb1 Rd3

I quina és la diferència d'ara amb el diagrama anterior, on es feien taules? Doncs que el rei blanc està a b7 i no a a8!!!



I pot aprofitar-ho per coronar ell: 8. g6 Rc2 8. g7 Rxb1 9. g8=D



El blanc "només" té una dama per lluitar contra un cavall i dos peons a setena. Però el seu rei no és a a8, i tant si el rei negre es mou a a1 com a c1 (les úniques que semblen oposar resistència), guanya:

9. ... Ra1 10. Dxa8+ Rb1 11. Da7 Rc1 12. Dg1+, i guanya.

9. ... Rc1 10. Dc4+ Rd2 11. Dd4+ Rc2 12. Df2+, i també guanya.